Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 3^+ 1x-3

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite, que
limxto3^+1x-3
existe (no sentido de limite infinito). Aqui o conteúdo é o conceito de “limite que vale +infty”: demonstrar que, para todo M>0, existe de<a>0 tal que, se 0<x-3<de<a, então 1x-3>M.

Passo 2

Seja um número arbitrário M>0. Queremos escolher de<a>0 de modo que, sempre que
0 < x-3 < de<a,
tenhamos
1x-3 > M
Uma escolha natural é
de<a = 1M

Passo 3

Agora verificamos: se 0<x-3<de<a=1/M, então x-3<1/M. Como x-3>0, podemos inverter essa desigualdade e obter
1x-3 > 11/M = M
Isso mostra exatamente que, dado qualquer M>0, existe de<a=1/M que garante 1x-3>M sempre que 0<x-3<de<a.

Resposta

limxto3^+1x-3=+infty

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