Questão 4(0,5 ponto cada item) Calcule, se existir, os seguintes limites:
c) lim x 2 arctg(x^3-x^2-2 x6 x-12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx 2 arctan(x^3-x^2-2x6x-12). Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente envolvendo limites e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e como a função arco-tangente ( arctan) se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro da função arco-tangente. Temos o quociente x^3-x^2-2x6x-12. Nosso objetivo é encontrar o limite desse quociente quando x se aproxima de 2.

Passo 3

Vamos tentar substituir (x = 2\ diretamente no quociente para ver se obtemos um valor definido:
2^3 - 2^2 - 2 times 26 times 2 - 12 = 8 - 4 - 412 - 12 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00, o que nos diz que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.)

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Primeiro, fatoramos o numerador x^3 - x^2 - 2x:
x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) = x(x - 2)(x + 1)
Agora, fatoramos o denominador 6x - 12:
6x - 12 = 6(x - 2)

Passo 5

Substituímos as fatorações na fração original:
x(x - 2)(x + 1)6(x - 2)
Podemos cancelar o fator comum (x - 2) no numerador e denominador:
x(x + 1)6

Passo 6

Agora que simplificamos a fração, podemos calcular o limite substituindo x = 2:
2(2 + 1)6 = 2 times 36 = 66 = 1

Passo 7

Agora que encontramos que x^3-x^2-2x6x-12 tende a 1 quando x se aproxima de 2, aplicamos a função arctan a esse resultado:
arctan(1)
Sabemos que arctan(1) = pi4, porque a tangente de pi4 é 1.

Resposta

pi4

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