Questão
ponto cada item) Calcule, se existir, os seguintes limites:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente envolvendo limites e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e como a função arco-tangente (
) se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro da função arco-tangente. Temos o quociente
. Nosso objetivo é encontrar o limite desse quociente quando
se aproxima de 2.
Passo 3
Vamos tentar substituir (x = 2\ diretamente no quociente para ver se obtemos um valor definido:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que nos diz que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.)
Passo 4
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Primeiro, fatoramos o numerador
:
Agora, fatoramos o denominador
:
Passo 5
Substituímos as fatorações na fração original:
Podemos cancelar o fator comum
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora que simplificamos a fração, podemos calcular o limite substituindo
:
Passo 7
Agora que encontramos que
tende a 1 quando
se aproxima de 2, aplicamos a função
a esse resultado:
Sabemos que
, porque a tangente de
é 1.