Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 5 raiz3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar pela definição de limite que, para
f(x)=raiz3x+1,
existe
limxto5f(x)
O conteúdo é o uso da definição varepsilon de<a de limite em uma função envolvendo raiz quadrada. Vamos precisar manipular a expressão l|raiz3x+1-Lr| e encontrar de<a em função de varepsilon.

Passo 2

Primeiro, suponhamos que o limite exista e seja igual a
L = f(5) = raiz3cdot5+1 = raiz16 = 4
Para provar que limxto5f(x)=4, precisamos mostrar que, dado qualquer varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-5|<de<a Longrightarrow l|raiz3x+1-4r|<varepsilon

Passo 3

Vamos controlar a diferença l|raiz3x+1-4r|. Usamos o truque da conjugada:
l|raiz3x+1-4r| = l|(raiz3x+1-4)(raiz3x+1+4)r|raiz3x+1+4 = l|3x+1-16r|raiz3x+1+4 = 3,|x-5|raiz3x+1+4

Passo 4

Precisamos tornar o denominador raiz3x+1+4 limitado de baixo por uma constante positiva. Para isso, restringimos de<a<=1, de modo que
|x-5|<1 Longrightarrow 4<x<6 Longrightarrow 3x+1in(13,19) Longrightarrow raiz3x+1+4>raiz13+4
Logo, sempre que |x-5|<1, temos
l|raiz3x+1-4r| <= 3,|x-5|raiz13+4

Passo 5

Queremos l|raiz3x+1-4r|<varepsilon. Basta garantir
3,|x-5|raiz13+4<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-5|<(raiz13+4),varepsilon3
Definimos então
de<a = min!l1,;(raiz13+4),varepsilon3r
Com essa escolha, sempre que 0<|x-5|<de<a teremos ao mesmo tempo |x-5|<1 e |x-5|<(raiz13+4)varepsilon/3, o que implica l|raiz3x+1-4r|<varepsilon.

Resposta

limxto5raiz3x+1=4

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