Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite (epsilon–delta), que existe
O conteúdo é limite de função real de variável real e precisaremos aplicar a definição formal de limite finito.
Passo 2
Primeiro, identificamos o valor candidato do limite: se a função fosse contínua em
, teríamos
Passo 3
Para usar a definição, analisamos a diferença em valor absoluto:
Passo 4
Precisamos controlar o denominador
|x-2| . Se exigirmos
|x-3|<1 , então
2<x<4 e assim
Passo 5
Com essa estimativa,
Para tornar isso menor que
varepsilon , basta exigir
Passo 6
Logo, dado
varepsilon>0 , basta escolher
Então, se
0<|x-3|<de<a , garantimos
|x-3|<1 e
|x-3|<varepsilon/2 , o que implica
l|tfracxx-2-3r|<varepsilon . Assim, pela definição de limite,