Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 3 xx-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite (epsilon–delta), que existe
limxto3xx-2
O conteúdo é limite de função real de variável real e precisaremos aplicar a definição formal de limite finito.

Passo 2

Primeiro, identificamos o valor candidato do limite: se a função fosse contínua em x=3, teríamos
L = 33-2 = 3

Passo 3

Para usar a definição, analisamos a diferença em valor absoluto:
|xx-2 - 3| = |x - 3(x-2)x-2| = |x - 3x + 6x-2| = |6 - 2xx-2| = 2,|x-3||x-2|

Passo 4

Precisamos controlar o denominador |x-2|. Se exigirmos |x-3|<1, então 2<x<4 e assim
|x-2| = x-2 > 1 Longrightarrow 1|x-2| < 1

Passo 5

Com essa estimativa,
|xx-2 - 3| = 2,|x-3||x-2| < 2,|x-3|
Para tornar isso menor que varepsilon, basta exigir
2,|x-3| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x-3| < varepsilon2

Passo 6

Logo, dado varepsilon>0, basta escolher
de<a = min!l1,;varepsilon2r
Então, se 0<|x-3|<de<a, garantimos |x-3|<1 e |x-3|<varepsilon/2, o que implica
l|tfracxx-2-3r|<varepsilon. Assim, pela definição de limite,
limxto3xx-2=3

Resposta

limxto3xx-2=3

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