Questão 4(0,5 ponto cada item) Calcule, se existir, os seguintes limites:
a) lim x 0 sen x|x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 sin x|x|. Aqui, estamos trabalhando com limites, especificamente analisando o comportamento da função sin x|x| quando x se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com o seno de x e com o valor absoluto de x próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin x é uma função que, quando x está próximo de 0, se comporta aproximadamente igual a x. Isso porque o limite limx 0 sin xx = 1. Então, podemos dizer que sin x approx x para valores de x próximos de 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar o denominador da nossa função, que é |x|. O valor absoluto de x simplesmente nos dá a magnitude de x, ou seja, |x| = x se x for positivo e |x| = -x se x for negativo.

Passo 4

Vamos dividir o limite em duas partes: quando x se aproxima de 0 pela direita ( x 0^+) e quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x 0^-).

Passo 5

Primeiro, para x 0^+, temos x > 0, então |x| = x. Substituindo na nossa função:
sin x|x| = sin xx approx xx = 1
Então, limx 0^+ sin x|x| = 1.

Passo 6

Agora, para x 0^-, temos x < 0, então |x| = -x. Substituindo na função:
sin x|x| = sin x-x approx x-x = -1
Então, limx 0^- sin x|x| = -1.

Passo 7

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( 1 e -1), o limite geral lim x 0 sin x|x| não existe.

Resposta

O limite lim x 0 sin x|x| não existe porque os limites laterais são diferentes.

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