Exercício 1. Mostre utilizando a definição em termos de varepsilon, de<a os limites abaixo.
lim x 3 x^2-9x-3=6.

Passo 1

O enunciado pede para provar, via definição varepsilon- de<a, que
limx to 3 x^2-9x-3 = 6
Pela definição, dado varepsilon>0 queremos encontrar de<a>0 tal que, sempre que
0 < |x-3| < de<a,
tenhamos
l|tfracx^2-9x-3 - 6r| < varepsilon

Passo 2

Para xneq 3 podemos simplificar a função:
x^2 - 9x-3 = (x-3)(x+3)x-3 = x+3

Passo 3

Calculamos o módulo da diferença ao valor 6:
l|tfracx^2-9x-3 - 6r| = |(x+3) - 6| = |x-3|

Passo 4

Para garantir |x-3|<varepsilon basta escolher
de<a = varepsilon

Passo 5

De fato, se 0<|x-3|<de<a então
l|tfracx^2-9x-3 - 6r| = |x-3| < de<a = varepsilon,
o que conclui a prova pelo critério de varepsilon- de<a.

Resposta

A escolha de<a = varepsilon mostra que
limx to 3 x^2-9x-3 = 6

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