utilize o Teste de Comparação com Limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
sumk=2^infty 2^k3+2^k

Passo 1

No enunciado temos a série
sumk=2^infty 2^k3+2^k
Trata-se de uma série de termos positivos. Vamos aplicar o Teste de Comparação com Limite, que afirma: se ak>0 e bk>0 e
limktoinftyakbk=L
com 0< L<infty, então sum ak e sum bk convergem ou divergem juntas.

Passo 2

Definimos
ak = 2^k3+2^k,
e observamos que, para k grande, 2^k domina 3, de modo que akapprox1. Escolhemos
bk = 1,
cuja série
sumk=2^infty bk = sumk=2^infty1
é divergente (soma de termos constantes não tende a um valor finito).

Passo 3

Calculamos o limite da razão:
limktoinftyakbk =limktoinfty2^k3+2^k1 =limktoinfty2^k3+2^k =limktoinfty132^k+1 =1
Como L=1 é finito e não nulo, pelo Teste de Comparação com Limite sum ak diverge ou converge conforme sum bk. Como sum bk diverge, concluímos que sum ak também diverge.

Resposta

A série diverge.

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