Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é a solução da equação homogênea associada e depois o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
logo há raiz dupla
.
Passo 3
Pela teoria, a solução geral da homogênea é
Passo 4
Agora usamos variação de parâmetros. Tomamos as soluções fundamentais
e
e procuramos
,
onde
e procuramos
onde
com
e
o Wronskiano de
.
Passo 5
Calculamos o Wronskiano:
Passo 6
Então
Integrando,
Passo 7
A solução particular é
Passo 8
A solução geral da EDO completa é
Como
pode ser absorvido em
, podemos reescrever simplesmente