Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime+4 y^prime+4 y=t^-2 e^-2 t ; t>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = t^-2e^-2t, t>0
O conteúdo envolvido é a solução da equação homogênea associada e depois o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 4 = 0 Longrightarrow (r+2)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=-2.

Passo 3

Pela teoria, a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t

Passo 4

Agora usamos variação de parâmetros. Tomamos as soluções fundamentais
y1 = e^-2t e y2 = t e^-2t
e procuramos
yp = u1(t),y1 + u2(t),y2,
onde
u1' = -f(t),y2W, u2' = f(t),y1W,
com f(t)=t^-2e^-2t e W o Wronskiano de y1,y2.

Passo 5

Calculamos o Wronskiano:
W = y1,y2' - y1',y2 = e^-2tl(e^-2t(1-2t)r) - l(-2e^-2tr)l(t e^-2tr) = e^-4t(1-2t+2t) = e^-4t

Passo 6

Então
u1' = -t^-2e^-2tcdot t e^-2te^-4t = -t^-1e^-4te^-4t = -1t,
u2' = t^-2e^-2tcdot e^-2te^-4t = t^-2e^-4te^-4t = t^-2
Integrando,
u1(t) = -ln t, u2(t) = -,t^-1

Passo 7

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = -ln t;e^-2t ;-;t^-1,(t,e^-2t) = -e^-2t(ln t + 1)

Passo 8

A solução geral da EDO completa é
y(t) = yh + yp = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t ;-; e^-2t(ln t + 1)
Como -e^-2t pode ser absorvido em C1e^-2t, podemos reescrever simplesmente
y(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t - e^-2tln t

Resposta

y(t) = C1 e^-2t + C2,t,e^-2t ;-; e^-2tln t, t>0

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