Resolva os seguintes problemas
(d) Paradoxo de Zenon, Aquiles (
) e uma tartaruga (
) decidiram apostar uma corrida.
permite que A inicie 100 m a frente já que
corre a
e
corre a
. Quando
alcança o ponto desde onde
partiu,
já se deslocou uma certa distância à frente. Quando
alcança esse outro ponto a frente,
se move uma outra distância. Como isso se repete indefinidamente, Zenon afirma que A nunca poderá alcançar a
. Mostre que essa afirmação está incorreta
(d) Paradoxo de Zenon, Aquiles (
Passo 1
O enunciado nos coloca no paradoxo clássico de Zenon: Achilles corre a
e a tartaruga a
. A tartaruga recebe uma vantagem de
, isto é, inicia em
enquanto Achilles parte de
. Zenon argumenta que, sempre que Achilles alcança onde a tartaruga estava, ela já avançou um pouco mais, criando uma sequência infinita de “alcanços parciais” e, assim, nunca seria ultrapassada. Para mostrar que ele está errado, vamos computar o tempo total que Achilles leva para de fato alcançar a tartaruga, usando séries geométricas.
Passo 2
Quando Achilles chega ao ponto inicial da tartaruga (
), o tempo gasto é
Nesse intervalo, a tartaruga avançou
ficando em
.
Em seguida Achilles percorre esses em
Em seguida Achilles percorre esses
e a tartaruga avança
Repetindo o raciocínio, os tempos formam a sequência
e cada termo satisfaz
Portanto
é uma série geométrica de razão
.
Passo 3
A soma do tempo total até o momento em que Achilles alcança a tartaruga é
Como essa soma é finita, Achilles de fato alcança a tartaruga em tempo finito de aproximadamente
.
Passo 4
Alternativamente, note que Achilles fecha a vantagem inicial de
sobre a tartaruga com velocidade relativa
Assim o tempo de encontro é
o mesmo valor obtido pela soma da série infinita.
Resposta
Achilles alcança e ultrapassa a tartaruga em tempo finito
portanto a afirmação de Zenon está incorreta.