Prove que em uma divisão harmônica com
temos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma divisão harmônica onde
. A divisão harmônica é um conceito da geometria que envolve quatro pontos em uma linha, onde certas relações de distâncias são satisfeitas. Nosso objetivo é provar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das proporções harmônicas e manipular as expressões algébricas envolvidas.
Passo 2
Vamos começar definindo os pontos envolvidos na divisão harmônica. Suponha que temos quatro pontos colineares
em uma linha, onde
e
estão dividindo o segmento
harmonicamente.
A divisão harmônica ocorre quando a razão harmônica das distâncias satisfaz a relação dada. Para entender melhor, vamos lembrar que a razão harmônica é definida como:
Aqui,
é a distância entre
e
,
é a distância entre
e
, e
é a distância entre
e
.
Passo 3
Vamos manipular a equação que queremos provar. Temos:
Vamos reescrever o lado direito somando as frações:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo o lado direito da equação:
Vamos reorganizar os termos para isolar
:
Passo 6
Fatorando
no lado direito:
Agora, vamos passar o termo com
para o lado esquerdo:
Fatorando
:
Isso confirma a relação que queríamos provar.
Resposta
Portanto, demonstramos que em uma divisão harmônica com
: