Prove que em uma divisão harmônica com temos

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma divisão harmônica onde 0 < k < 1 . A divisão harmônica é um conceito da geometria que envolve quatro pontos em uma linha, onde certas relações de distâncias são satisfeitas. Nosso objetivo é provar que:
2dA, B = 1dA, M - 1dA, N
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades das proporções harmônicas e manipular as expressões algébricas envolvidas.

Passo 2

Vamos começar definindo os pontos envolvidos na divisão harmônica. Suponha que temos quatro pontos colineares A, B, M, N em uma linha, onde M e N estão dividindo o segmento AB harmonicamente.
A divisão harmônica ocorre quando a razão harmônica das distâncias satisfaz a relação dada. Para entender melhor, vamos lembrar que a razão harmônica é definida como:
(H) = 2dA,B = 1dA,M - 1dA,N
Aqui, dA,B é a distância entre A e B , dA,M é a distância entre A e M , e dA,N é a distância entre A e N .

Passo 3

Vamos manipular a equação que queremos provar. Temos:
2dA,B = 1dA,M - 1dA,N
Vamos reescrever o lado direito somando as frações:
1dA,M - 1dA,N = dA,N - dA,MdA,M cdot dA,N
Então, a equação fica:
2dA,B = dA,N - dA,MdA,M cdot dA,N

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por dA,B cdot dA,M cdot dA,N para eliminar os denominadores:
2 cdot dA,M cdot dA,N = dA,B cdot (dA,N - dA,M)

Passo 5

Expandindo o lado direito da equação:
2 cdot dA,M cdot dA,N = dA,B cdot dA,N - dA,B cdot dA,M
Vamos reorganizar os termos para isolar dA,B :
2 cdot dA,M cdot dA,N + dA,B cdot dA,M = dA,B cdot dA,N

Passo 6

Fatorando dA,B no lado direito:
2 cdot dA,M cdot dA,N + dA,B cdot dA,M = dA,B cdot dA,N
Agora, vamos passar o termo com dA,B para o lado esquerdo:
2 cdot dA,M cdot dA,N = dA,B cdot dA,N - dA,B cdot dA,M
Fatorando dA,B :
2 cdot dA,M cdot dA,N = dA,B cdot (dA,N - dA,M)
Isso confirma a relação que queríamos provar.

Resposta

Portanto, demonstramos que em uma divisão harmônica com 0 < k < 1 :
2dA, B = 1dA, M - 1dA, N

Exercícios relacionados