Exercício 3. Simplificação de Cônica por Translação: Dada a equação da cônica
no sistema
.
- Encontre a nova origem
(o centro da cônica) que elimina os termos lineares em
e
.
- Escreva a nova equação da cônica no sistema transladado
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da cônica no sistema
:
O que é pedido:
- Encontrar a nova origem
(o centro da cônica) que elimina os termos lineares em e . - Escrever a nova equação da cônica no sistema transladado
, isto é, obter a equação em quando a origem é movida para .
Passo 1 lista claramente o que foi dado e as duas perguntas acima. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Ideia e método escolhido (explicação didática curta e intuitiva).
- Para eliminar termos lineares numa equação quadrática em
faz-se uma translação de origem: escolhe-se e , onde é a nova origem. Ao desenvolver a equação em os termos em e (os lineares) desaparecerão se for o centro da cônica. - Uma forma prática de achar
é completar quadrados na expressão em e : agrupar termos em e em e escrever cada parte como um quadrado perfeito mais um constante. Isso já revela a translação necessária.
Vou aplicar completar quadrados diretamente na equação dada.
Passo 3
Separar os termos por variável e completar quadrados passo a passo.
A equação é
A equação é
Tratar
isoladamente:
Explicar: completar quadrado em
adiciona e subtrai
porque
.
Tratar
(note o coeficiente
em
):
Agora completar quadrado dentro do parêntese:
Portanto
Passo 4
Substituir os resultados de completar quadrados na equação original.
Usando as expressões obtidas:
Usando as expressões obtidas:
Agora somar as constantes
:
Logo a equação fica
Isolando os quadrados:
Passo 5
Interpretar a forma obtida para encontrar
e a tradução.
A expressão está em termos de e
. Isso indica que ao deslocar a origem para
os termos lineares desaparecem — esse ponto é o centro da cônica.
A expressão está em termos de
Definir as novas coordenadas
centradas em
:
Note: inverter as relações dá
e
, que aparecem naturalmente na forma com quadrados.
Passo 6
Escrever a equação da cônica no sistema transladado
.
Substituindo e
na equação
obtemos imediatamente:
Substituindo
Podemos também colocar na forma normalizada (equação de uma elipse):
Aqui a nova origem
corresponde ao ponto
no sistema original.