Exercício 3. Simplificação de Cônica por Translação: Dada a equação da cônica \mathbf{x}^{\mathbf{2}}+\mathbf{4} \mathbf{y}^{\mathbf{2}}-\mathbf{2} \mathbf{x}+\mathbf{8 y}+\mathbf{1}=\mathbf{0} no sistema \Sigma_{1}=(x, y).
  • Encontre a nova origem O^{\prime}=(h, k) (o centro da cônica) que elimina os termos lineares em x e y.
  • Escreva a nova equação da cônica no sistema transladado \Sigma_{2}=(u, v).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da cônica no sistema \Sigma_{1}=(x,y):
x^{2}+4y^{2}-2x+8y+1=0.
O que é pedido:
  • Encontrar a nova origem O'=(h,k) (o centro da cônica) que elimina os termos lineares em x e y.
  • Escrever a nova equação da cônica no sistema transladado \Sigma_{2}=(u,v), isto é, obter a equação em u,v quando a origem é movida para O'.
Passo 1 lista claramente o que foi dado e as duas perguntas acima. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Ideia e método escolhido (explicação didática curta e intuitiva).
  • Para eliminar termos lineares numa equação quadrática em x,y faz-se uma translação de origem: escolhe-se x=u+h e y=v+k, onde (h,k) é a nova origem. Ao desenvolver a equação em u,v os termos em u e v (os lineares) desaparecerão se (h,k) for o centro da cônica.
  • Uma forma prática de achar (h,k) é completar quadrados na expressão em x e y: agrupar termos em x e em y e escrever cada parte como um quadrado perfeito mais um constante. Isso já revela a translação necessária.
Vou aplicar completar quadrados diretamente na equação dada.

Passo 3

Separar os termos por variável e completar quadrados passo a passo.
A equação é
x^{2}-2x \;+\; 4y^{2}+8y \;+\; 1 \;=\; 0.
Tratar x isoladamente:
x^{2}-2x = (x^{2}-2x+1)-1 = (x-1)^{2}-1.
Explicar: completar quadrado em x^{2}-2x adiciona e subtrai 1 porque (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
Tratar y (note o coeficiente 4 em y^{2}):
4y^{2}+8y = 4\bigl(y^{2}+2y\bigr).
Agora completar quadrado dentro do parêntese:
y^{2}+2y = (y^{2}+2y+1)-1 = (y+1)^{2}-1.
Portanto
4y^{2}+8y = 4\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) = 4(y+1)^{2}-4.

Passo 4

Substituir os resultados de completar quadrados na equação original.
Usando as expressões obtidas:
(x-1)^{2}-1 \;+\; 4(y+1)^{2}-4 \;+\; 1 \;=\; 0.
Agora somar as constantes -1-4+1:
-1-4+1 = -4.
Logo a equação fica
(x-1)^{2} + 4(y+1)^{2} -4 = 0.
Isolando os quadrados:
(x-1)^{2} + 4(y+1)^{2} = 4.

Passo 5

Interpretar a forma obtida para encontrar O' e a tradução.
A expressão está em termos de (x-1) e (y+1). Isso indica que ao deslocar a origem para (h,k)=(1,-1) os termos lineares desaparecem — esse ponto é o centro da cônica.
Definir as novas coordenadas (u,v) centradas em O':
x = u + h = u + 1,\qquad y = v + k = v - 1.
Note: inverter as relações dá u = x-1 e v = y+1, que aparecem naturalmente na forma com quadrados.

Passo 6

Escrever a equação da cônica no sistema transladado \Sigma_{2}=(u,v).
Substituindo u=x-1 e v=y+1 na equação (x-1)^{2} + 4(y+1)^{2} = 4 obtemos imediatamente:
u^{2} + 4v^{2} = 4.
Podemos também colocar na forma normalizada (equação de uma elipse):
\frac{u^{2}}{4} + v^{2} = 1.
Aqui a nova origem (u,v)=(0,0) corresponde ao ponto O'=(1,-1) no sistema original.

Resposta

O'=(1,-1)
u^{2}+4v^{2}=4

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