Exercício 9 O núcleo de uma matriz Am n in Mm n(R) é o conjunto
N(A)=x in R^n ; A x=0
(a) Mostre que N(A) é subespaço de R^n.
(b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então N(A)=0.
© Determine o núcleo da matriz
A=[llll 1 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 1

Neste exercício vamos trabalhar com o núcleo (ou kernel) de uma matriz e verificar propriedades de subespaço e independência linear, além de calcular o núcleo de uma matriz 2×4. Vamos precisar da definição de núcleo N(A)=xinR^n; Ax=0, das propriedades de espaço vetorial (vetor zero, fechamento em soma e produto escalar) e da definição de combinação linear das colunas.

Passo 2

Para mostrar que N(A) é subespaço de R^n, verificamos: (i) o vetor zero está em N(A) porque A0=0; (ii) se Ax=0 e Ay=0, então A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0, então x+yin N(A); (iii) para todo escalar lambda, A(lambda x)=lambda Ax=lambdacdot0=0, logo lambda xin N(A).

Passo 3

Suponha que as colunas de A sejam linearmente independentes e tome xin N(A), isto é, Ax=0. Mas Ax é justamente a combinação linear das colunas de A com coeficientes xi. A independência linear implica que todos os xi são zero, ou seja, x=0. Portanto N(A)=0.

Passo 4

Agora calculamos o núcleo da matriz
A=1&1&1&02&1&0&1
Seja x=(x1,x2,x3,x4)^T. A condição Ax=0 gera o sistema:
x1+x2+x3=0, 2x1+x2+x4=0

Passo 5

Para resolver, expressamos duas variáveis livres, por exemplo s=x2 e t=x3. Da primeira equação vem x1=-s-t. Substituindo na segunda:
2(-s-t)+s+x4=0implies -2s-2t+s+x4=0implies x4=s+2t
Então
x=(x1,x2,x3,x4)=(-s-t,,s,,t,,s+2t)
Isso pode ser escrito como combinação linear:
x=s(-1,1,0,1)+t(-1,0,1,2)
Portanto o núcleo é o espaço gerado por esses dois vetores.

Resposta

(a) N(A) é subespaço de R^n. (b) Se as colunas de A são linearmente independentes então N(A)=0. © Para A dada,
N(A)=span(-1,1,0,1),,(-1,0,1,2)

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