Exercício 9 O núcleo de uma matriz
é o conjunto
(a) Mostre que
é subespaço de
.
(b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então
.
© Determine o núcleo da matriz
(b) Mostre que se os vetores colunas de A são L.I., então
© Determine o núcleo da matriz
Passo 1
Neste exercício vamos trabalhar com o núcleo (ou kernel) de uma matriz e verificar propriedades de subespaço e independência linear, além de calcular o núcleo de uma matriz 2×4. Vamos precisar da definição de núcleo
, das propriedades de espaço vetorial (vetor zero, fechamento em soma e produto escalar) e da definição de combinação linear das colunas.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
, verificamos: (i) o vetor zero está em
porque
; (ii) se
e
, então
, então
; (iii) para todo escalar
,
, logo
.
Passo 3
Suponha que as colunas de
sejam linearmente independentes e tome
, isto é,
. Mas
é justamente a combinação linear das colunas de
com coeficientes
. A independência linear implica que todos os
são zero, ou seja,
. Portanto
.
Passo 4
Agora calculamos o núcleo da matriz
Seja
. A condição
gera o sistema:
Passo 5
Para resolver, expressamos duas variáveis livres, por exemplo
e
. Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Então
Isso pode ser escrito como combinação linear:
Portanto o núcleo é o espaço gerado por esses dois vetores.
Resposta
(a) N(A) é subespaço de
. (b) Se as colunas de A são linearmente independentes então
. © Para A dada,