Como vimos, o vetor tangente é dado pela derivada da curva \gamma^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Assim, o vetor normal a \gamma no ponto t_{0} é dado por \left(-y^{\prime}\left(t_{0}\right), x^{\prime}\left(t_{0}\right)\right). Sabendo disso, determine se as curvas dadas têm reta normal no ponto \gamma\left(t_{0}\right) para t_{0} dado abaixo. Se sim, determine-as:
\gamma(t)=(\cos (2 t), \operatorname{sen}(2 t)), t_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a curva \gamma e pede que verifiquemos se existe reta normal em t_{0} e, se existir, que a determinemos. As informações relevantes que temos são:
\gamma(t) = (\cos(2t), \sin(2t)) e t_{0}=0.
Queremos: existe reta normal a \gamma no ponto \gamma(0)? Se sim, qual é essa reta?

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa ter reta normal: precisamos do vetor normal no ponto t_{0}. O vetor tangente é a derivada da curva, isto é \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)). A partir dele, um vetor normal (não nulo) é dado por (-y'(t),x'(t)). Se \gamma'(t_{0})\neq(0,0), então esses vetores existem e definem direções da reta tangente e da reta normal. Portanto, para ter reta normal basta que \gamma'(0) seja diferente de (0,0).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das componentes usando a regra da cadeia. Lembre que a derivada de \cos(u) em relação a t é -\sin(u)\cdot u' e a derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'. Aqui u(t)=2t tem u'(t)=2. Assim,
x'(t)=\frac{d}{dt}\cos(2t)=-\sin(2t)\cdot 2=-2\sin(2t),
y'(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t)=\cos(2t)\cdot 2=2\cos(2t).

Passo 4

Avaliamoas derivadas em t_{0}=0:
x'(0)=-2\sin(0)= -2\cdot 0 = 0,
y'(0)=2\cos(0)=2\cdot 1 = 2.
Logo \gamma'(0)=(0,2), que é diferente de (0,0). Portanto existe reta tangente e, consequentemente, reta normal em t_{0}=0.

Passo 5

Construímos o vetor normal em t_{0} pela fórmula (-y'(t_{0}),x'(t_{0})). Substituindo:
\text{vetor normal em }t_{0} = (-y'(0),x'(0)) = (-2,0).
Esse vetor indica a direção da reta normal (aponta na direção do eixo x, i.e., é horizontal).

Passo 6

Precisamos também do ponto pelo qual a reta passa: \gamma(0). Calculamos
\gamma(0)=(\cos(0),\sin(0))=(1,0).
Agora formamos a equação paramétrica da reta que passa por (1,0) com direção (-2,0). Usando um parâmetro s,
(x(s),y(s))=(1,0)+s(-2,0) = (1-2s,\,0).
Podemos simplificar a direção (multiplicando por -\tfrac12) e usar direção (1,0); então uma forma paramétrica mais simples é
(x(s),y(s))=(1+s,\,0),
com s\in\mathbb{R}.

Passo 7

A forma cartesiana da reta é imediata a partir da paramétrica: como a coordenada y é sempre 0, a reta é
y=0.
Esse é o eixo x inteiro. Como passa por (1,0), está correta.

Resposta

Sim. Reta normal: (x(s),y(s))=(1+s,\,0),\;s\in\mathbb{R}.
y = 0

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