Como vimos, o vetor tangente é dado pela derivada da curva
. Assim, o vetor normal a
no ponto
é dado por
. Sabendo disso, determine se as curvas dadas têm reta normal no ponto
para
dado abaixo. Se sim, determine-as:
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede que verifiquemos se existe reta normal em
e, se existir, que a determinemos. As informações relevantes que temos são:
e
.
Queremos: existe reta normal a no ponto
? Se sim, qual é essa reta?
Queremos: existe reta normal a
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa ter reta normal: precisamos do vetor normal no ponto
. O vetor tangente é a derivada da curva, isto é
. A partir dele, um vetor normal (não nulo) é dado por
. Se
, então esses vetores existem e definem direções da reta tangente e da reta normal. Portanto, para ter reta normal basta que
seja diferente de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das componentes usando a regra da cadeia. Lembre que a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
é
. Aqui
tem
. Assim,
Passo 4
Avaliamoas derivadas em
:
Logo
, que é diferente de
. Portanto existe reta tangente e, consequentemente, reta normal em
.
Passo 5
Construímos o vetor normal em
pela fórmula
. Substituindo:
Esse vetor indica a direção da reta normal (aponta na direção do eixo
, i.e., é horizontal).
Passo 6
Precisamos também do ponto pelo qual a reta passa:
. Calculamos
Agora formamos a equação paramétrica da reta que passa por
com direção
. Usando um parâmetro
,
Podemos simplificar a direção (multiplicando por
) e usar direção
; então uma forma paramétrica mais simples é
com
.
Passo 7
A forma cartesiana da reta é imediata a partir da paramétrica: como a coordenada
é sempre
, a reta é
Esse é o eixo
inteiro. Como passa por
, está correta.
Resposta
Sim. Reta normal:
y = 0
y = 0