Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado apresenta um problema de valor inicial (P.V.I.) para uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para resolver o P.V.I.
Condições iniciais: y(0)=1 e y′(0)=1.
Condições iniciais: y(0)=1 e y′(0)=1.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à equação diferencial y′′(t)+y′(t)−2y(t)=0:
Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos as raízes r₁ e r₂.
Passo 3
As raízes são dados por
Logo, r₁ = 1 e r₂ = -2.
Passo 4
Com as raízes, a solução geral da EDO é
Derivando, temos
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
Isso forma um sistema de duas equações lineares em C₁ e C₂.
Passo 6
Resolvendo o sistema
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos 3C₂ = 0 ⇒ C₂ = 0. Substituindo em C₁ + C₂ = 1 dá C₁ = 1.
Passo 7
Substituindo os coeficientes na solução geral, chegamos à solução particular do P.V.I.:
y(t) = 1·e^{t} + 0·e^{-2t} = e^{t}.
y(t) = 1·e^{t} + 0·e^{-2t} = e^{t}.