Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
\left{ ly^prime prime(t)+y^prime(t)-2 y(t)=0, y(0)=1, y^prime(0)=1\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial (P.V.I.) para uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para resolver o P.V.I.
Condições iniciais: y(0)=1 e y′(0)=1.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à equação diferencial y′′(t)+y′(t)−2y(t)=0:
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos as raízes r₁ e r₂.

Passo 3

As raízes são dados por
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Logo, r₁ = 1 e r₂ = -2.

Passo 4

Com as raízes, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-2t
Derivando, temos
y(t) = C1 e^t - 2C2 e^-2t

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
y(0) = C1 + C2 = 1, y(0) = C1 - 2C2 = 1
Isso forma um sistema de duas equações lineares em C₁ e C₂.

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1, C1 - 2C2 = 1,
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos 3C₂ = 0 ⇒ C₂ = 0. Substituindo em C₁ + C₂ = 1 dá C₁ = 1.

Passo 7

Substituindo os coeficientes na solução geral, chegamos à solução particular do P.V.I.:
y(t) = 1·e^{t} + 0·e^{-2t} = e^{t}.

Resposta

y(t)=e^t

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