Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
\left{ ly^prime prime(t)+4 y^prime(t)+3 y(t)=0, y(0)=2, y^prime(0)=-1\right.

Passo 1

O problema é um P.V.I. (Problema de Valor Inicial) que consiste em resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar os constantes para atender às condições iniciais.

Passo 2

Para resolver a EDO homogênea, montamos a equação característica associada, trocando y(t) por e^lambda t:
$$
a r(
)
: \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0.
$$
Agora basta resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo lambda^2 + 4lambda + 3 = 0 pelo método da soma e produto ou fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
lambda1 = -1, lambda2 = -3
Como são raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-3t

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, calculamos primeiro a derivada:
y'(t) = -C1 e^-t - 3C2 e^-3t
Em seguida impomos
y(0) = C1 + C2 = 2,
y'(0) = -C1 - 3C2 = -1
Isso nos dá um sistema de duas equações para C1 e C2.

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, -!C1 - 3C2 = -1,
da primeira equação C1 = 2 - C2. Substituindo na segunda:
- (2 - C2) - 3C2 = -1
-2 + C2 - 3C2 = -1
-2 - 2C2 = -1
-2C2 = 1
C2 = -tfrac12,
portanto C1 = 2 - (-tfrac12) = tfrac52. Assim a solução específica é obtida.

Passo 6

Substituindo os valores de C1 e C2 na solução geral, chegamos em
y(t) = tfrac52 e^-t - tfrac12 e^-3t

Resposta

y(t) = \tfrac52 e^{-t} - \tfrac12 e^{-3t}

Exercícios relacionados