Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O problema é um P.V.I. (Problema de Valor Inicial) que consiste em resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar os constantes para atender às condições iniciais.
Passo 2
Para resolver a EDO homogênea, montamos a equação característica associada, trocando
por
:
$$
a r(
)
: \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0.
)
: \lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0.
$$
Agora basta resolver essa equação quadrática.
Agora basta resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo
pelo método da soma e produto ou fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes
Como são raízes reais e distintas, a solução geral da EDO é
Passo 4
Para aplicar as condições iniciais, calculamos primeiro a derivada:
Em seguida impomos
Isso nos dá um sistema de duas equações para
e
.
Passo 5
Resolvendo o sistema
da primeira equação
. Substituindo na segunda:
portanto
. Assim a solução específica é obtida.
Passo 6
Substituindo os valores de
e
na solução geral, chegamos em
Resposta
y(t) = \tfrac52 e^{-t} - \tfrac12 e^{-3t}