Exercício 8 Resolva o problema
y^prime(t)+2 y(t)=g(t), y(0)=0
em que
g(t)=l 1,0 <= t <= 1 0, t>0
(É possível obter uma solução comntínua em t=1 ?)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado: temos uma equação diferencial linear de primeira ordem y'(t)+2y(t)=g(t) com condição inicial y(0)=0, onde g(t) é uma função em escada que vale 1 para 0<= t<=1 e 0 para t>1. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante e tratar em dois intervalos: [0,1] e (1,infty).

Passo 2

No intervalo 0<= t<=1, temos g(t)=1. A equação fica y'+2y=1. O fator integrante é e^integral2,dt=e^2t. Multiplicando a ODE por e^2t e usando que (e^2ty)'=e^2ty'+2e^2ty, integramos de 0 a t:
integral0^t (e^2sy(s))',ds = integral0^t e^2s,ds
Isso dá
e^2ty(t)-e^0y(0)=e^2t-12
Como y(0)=0, isolamos
y(t)=e^-2tcdote^2t-12=12l(1-e^-2tr), 0<= t<=1

Passo 3

Para t>1, temos g(t)=0 e a ODE homogênea y'+2y=0. Sua solução geral é
y(t)=Ce^-2t
Precisamos determinar C de modo que y(t) seja contínua em t=1. Impomos
limtto1^-y(t)=limtto1^+y(t)
Do intervalo anterior, y(1^-)=tfrac12(1-e^-2). Logo
Ce^-2cdot1=12(1-e^-2)implies C=12(1-e^-2)e^2=12(e^2-1)
Assim,
y(t)=12(e^2-1)e^-2t, t>1

Passo 4

Verificando a continuidade em t=1: de ambos os lados temos
12l(1-e^-2r)=12(e^2-1)e^-2=12(1-e^-2),
portanto a solução é contínua em t=1.

Resposta

A solução geral é
y(t)= tfrac12l(1-e^-2tr),&0<= t<=1, tfrac12(e^2-1)e^-2t,&t>1
E sim, ela é contínua em t=1.

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