Exercício 8 Resolva o problema
em que
(É possível obter uma solução comntínua em
?)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado: temos uma equação diferencial linear de primeira ordem
com condição inicial
, onde
é uma função em escada que vale 1 para
e 0 para
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante e tratar em dois intervalos:
e
.
Passo 2
No intervalo
, temos
. A equação fica
. O fator integrante é
. Multiplicando a ODE por
e usando que
, integramos de 0 a
:
Isso dá
Como
, isolamos
Passo 3
Para
, temos
e a ODE homogênea
. Sua solução geral é
Precisamos determinar
de modo que
seja contínua em
. Impomos
Do intervalo anterior,
. Logo
Assim,
Passo 4
Verificando a continuidade em
: de ambos os lados temos
portanto a solução é contínua em
.
Resposta
A solução geral é
y(t)=
E sim, ela é contínua em t=1.
y(t)=
E sim, ela é contínua em t=1.