Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral arccos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral arccos x,dx usando integração por partes e depois derivar o resultado para conferir.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes: u = arccos x e dv = dx. Então
du = -dfrac1raiz1 - x^2,dx pois a derivada de arccos x é -1/raiz1-x^2, e
v = integral dv = integral dx = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
obtemos
integral arccos x,dx = xarccos x - integral xl(-1raiz1-x^2r)dx = xarccos x + integral xraiz1-x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral xraiz1-x^2,dx, fazemos a substituição t = 1 - x^2, logo dt = -2x,dx e x,dx = -tfracdt2. Assim:
integral xraiz1-x^2,dx = integral -12 dtraizt = -tfrac12 integral t^-1/2 dt = -tfrac12 cdot 2t^1/2 + C = -raizt + C = -raiz1 - x^2 + C

Passo 5

Substituindo de volta, a integral fica
integral arccos x,dx = xarccos x - raiz1 - x^2 + C

Passo 6

Para verificar, derivamos xarccos x - raiz1-x^2: a derivada de xarccos x é arccos x + xl(-1raiz1-x^2r) e a derivada de -raiz1-x^2 é (-1)cdot12raiz1-x^2cdot(-2x)=xraiz1-x^2. Os termos com x/raiz1-x^2 se cancelam, sobrando arccos x, que confere. Portanto, a solução está correta.

Resposta

xarccos x - raiz1-x^2 + C

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