Use o teste da razão para determinar a convergência das séries:
sumn=1^infty 1n!

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar a convergência da série sumn=1^infty tfrac1n! usando o teste da razão. O conteúdo principal é o teste da razão para séries numéricas, que exige calcular o limite L=limntoinftyl|an+1/anr|.

Passo 2

Pela definição da série temos o termo geral an = 1n!. No teste da razão vamos avaliar an+1an. Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 1(n+1)!1n! = n!(n+1)! = 1n+1

Passo 3

Agora determinamos o limite dessa expressão quando ntoinfty:
L = limntoinfty 1n+1 = 0

Passo 4

Pelo teste da razão, se L<1 a série converge absolutamente (logo converge). Aqui L=0<1, então nossa série converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

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