Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
\left{ ly^prime prime(t)+2 y^prime(t)+2 y(t)=0, y(pi / 4)=2, y^prime(pi / 4)=-2\right.

Passo 1

A questão pede para resolver o problema de valor inicial y''(t) + 2y'(t) + 2y(t) = 0 com y(pi/4)=2 e y'(pi/4)=-2. Este é um EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica, encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada ao EDO:
r^2 + 2r + 2 = 0

Passo 3

Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
r = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i

Passo 4

Como são raízes complexas com parte real a=-1 e parte imaginária b=1, a solução geral é
y(t) = e^atl(C1 cos bt + C2 sin btr) = e^-tl(C1 cos t + C2 sin tr)

Passo 5

Derivamos y(t) usando a regra do produto:
y'(t) = e^-tl[(C2 - C1)cos t - (C1 + C2)sin tr]

Passo 6

Agora, em t = pi/4, impomos as duas condições iniciais de uma vez só:
raiz22e^-pi/4(C1 + C2) = 2, -raiz2,C1,e^-pi/4 = -2

Passo 7

Da primeira obtém-se C1 + C2 = 2raiz2,e^pi/4, e da segunda C1 = raiz2,e^pi/4. Logo C2 = raiz2,e^pi/4.

Resposta

y(t) = raiz2,e^pi/4 - t(cos t + sin t)

Exercícios relacionados