Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral 1x^3 e^1 / x d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral 1x^3e^1/x,dx. O conteúdo envolve integração por substituição para simplificar o expoente e depois usar integração por partes em integral t e^t,dt. No final, vamos derivar o resultado para conferir.

Passo 2

Fazemos a substituição t=1/x. Daí dt/dx=-1/x^2, ou seja dx=-x^2,dt. Substituindo na integral:

Como nintegral x^-3e^1/x,dx=integral x^-3e^t(-x^2),dt=-integral x^-1e^t,dt, temos

Passo 3

Para resolver integral t e^t,dt, aplicamos integração por partes escolhendo u=t e dv=e^t,dt. Então
u=t, dv=e^t,dtLongrightarrow du=dt, v=e^t

Passo 4

Pela fórmula integral u,dv=u v-integral v,du, obtemos
integral t e^t,dt=t e^t-integral e^t,dt=t e^t-e^t+(C1)=(t-1)e^t+(C1)

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
integral 1x^3e^1/x,dx = -l((t-1)e^tr)+C = (1-t)e^t + C

Passo 6

Substituindo t=1/x e e^t=e^1/x, o resultado fica
l(1-tfrac1xr)e^1/x+C

Passo 7

Agora derivamos f(x)=l(1-tfrac1xr)e^1/x para conferir:
f'(x)=ddxl(1-tfrac1xr)e^1/x+l(1-tfrac1xr)ddxe^1/x
Calculando cada parte:
ddxl(1-tfrac1xr)=1x^2, ddxe^1/x=e^1/xl(-tfrac1x^2r)
Logo
f'(x)=e^1/xx^2+l(1-tfrac1xr)l(-e^1/xx^2r)=e^1/xx^3,
como queríamos.

Passo 8

Portanto a integral está correta.

Resposta

l(1-tfrac1xr)e^1/x+C

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