Exercício 1 Obtenha as soluções dos P.V.I.'s abaixo.
l y^prime prime(t)+4 y^prime(t)+5 y(t)=0 y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o P.V.I. dado por
y''(t) + 4y'(t) + 5y(t) = 0, y(0)=1, y'(0)=0
O conteúdo é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar montar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para resolver, escrevemos a equação característica associada: r^2 + 4r + 5 = 0. Resolvendo-a, temos r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot52 = -2 pm i. Como as raízes são complexas conjugadas ( -2 pm i), a solução geral da ODE é
y(t) = e^-2tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 3

Aplicamos a condição y(0)=1. Ao fazer t=0 na solução geral,
y(0) = e^0l(Acos0 + Bsin0r) = A = 1

Passo 4

Agora precisamos de y'(t). Derivando em bloco,
y'(t) = ddtl[e^-2t(Acos t + Bsin t)r] = e^-2tl[(-2A + B)cos t + (-2B - A)sin tr]
Em t=0, e lembrando que A=1, temos
y'(0) = (-2cdot1 + B) = -2 + B stackrel!= 0
logo B = 2.

Passo 5

Substituindo A=1 e B=2 na solução geral, obtemos a solução particular do P.V.I.:

Resposta

y(t)=e^-2tl(cos t + 2sin tr)

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