Use o teste da razão para determinar a convergência das séries:
sumn=1^infty n2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty dfracn2^n converge usando o teste da razão. O conteúdo aqui é o teste da razão para séries numéricas.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série de termos positivos an, se definirmos L = limntoinfty an+1an, então: 1) se L<1 a série converge absolutamente; 2) se L>1 diverge; 3) se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos an = n2^n. Então
an+1an = tfracn+12^n+1tfracn2^n = n+1ncdot 2^n2^n+1 = n+1ncdot 12 = n+12n

Passo 4

Agora basta calcular o limite:
L = limntoinfty n+12n = 12

Passo 5

Como L = tfrac12 < 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão, pois o limite é 1/2<1).

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