( 0.8 pontos) Escreva o termo geral da sequência \left\{\frac{-1}{4}, \frac{2}{9}, \frac{-3}{16}, \frac{4}{25}, \ldots\right\}, mostre que é monótona, limitada e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
\displaystyle\left\{\frac{-1}{4},\,\frac{2}{9},\,\frac{-3}{16},\,\frac{4}{25},\ldots\right\}
e pede: (i) o termo geral, (ii) mostrar que é monótona (nos valores absolutos), (iii) mostrar que é limitada e (iv) calcular o limite. Vamos aplicar padrões de sequência, comparação de termos e o Teorema do Confronto para limites.

Passo 2

Para achar o termo geral a_n, observamos:
  • O n-ésimo numerador cresce como n.
  • O denominador é 4,9,16,25,\dots, isto é, (n+1)^2.
  • O sinal alterna: para n=1 obtemos negativo, depois positivo, etc., logo há um fator (-1)^n.
    Portanto, o termo geral é
a_n \;=\; \frac{(-1)^n\,n}{(n+1)^2}\,.

Passo 3

Mostramos que \bigl|a_n\bigr| é estritamente decrescente, ou seja,
|a_{n+1}| < |a_n|\quad\forall n\ge1.
Começamos por escrever
|a_{n+1}| = \frac{n+1}{(n+2)^2} \quad\text{e}\quad |a_n| = \frac{n}{(n+1)^2}\,.
Queremos
\frac{n+1}{(n+2)^2} \;<\; \frac{n}{(n+1)^2}.
Multiplicando ambos os lados por (n+2)^2(n+1)^2>0, obtemos
(n+1)(n+1)^2 \;<\; n\,(n+2)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad n^3+3n^2+3n+1 < n^3+4n^2+4n,
que se reduz a
1 +3n^2+3n <4n^2+4n \quad\Longleftrightarrow\quad 0 < n^2 +n -1,
o que é verdadeiro para todo n\ge1. Assim |a_{n+1}|<|a_n| e a sequência dos módulos é estritamente decrescente.

Passo 4

Para ver que a_n é limitada, note-se que
-\,\frac{n}{(n+1)^2}\;\le\;a_n\;\le\;\frac{n}{(n+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac14\;\le\;a_n\;\le\;\frac14,
pois o máximo de \frac{n}{(n+1)^2} ocorre em n=1 e vale \tfrac14. Logo a sequência está contida no intervalo \bigl[-\tfrac14,\tfrac14\bigr].

Passo 5

Para calcular \lim_{n\to\infty}a_n, usamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n+1)^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} =0
e que (-1)^n é limitado em \{-1,1\}. Pelo Teorema do Confronto ou pela observação direta de que o fator dominante é \tfrac{n}{(n+1)^2}\to0, segue
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

O termo geral é
a_n = \frac{(-1)^n\,n}{(n+1)^2}.
A sequência dos módulos \bigl|a_n\bigr| é estritamente decrescente, a_n é limitada em \bigl[-\tfrac14,\tfrac14\bigr] e
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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