( 0.8 pontos) Escreva o termo geral da sequência \left\{\frac{-1}{4}, \frac{2}{9}, \frac{-3}{16}, \frac{4}{25}, \ldots\right\}, mostre que é monótona, limitada e calcule seu limite.
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência \displaystyle\left\{\frac{-1}{4},\,\frac{2}{9},\,\frac{-3}{16},\,\frac{4}{25},\ldots\right\}
e pede: (i) o termo geral, (ii) mostrar que é monótona (nos valores absolutos), (iii) mostrar que é limitada e (iv) calcular o limite. Vamos aplicar padrões de sequência, comparação de termos e o Teorema do Confronto para limites.
Passo 2
Para achar o termo geral a_n, observamos:
O n-ésimo numerador cresce como n.
O denominador é 4,9,16,25,\dots, isto é, (n+1)^2.
O sinal alterna: para n=1 obtemos negativo, depois positivo, etc., logo há um fator (-1)^n.
Portanto, o termo geral é
a_n \;=\; \frac{(-1)^n\,n}{(n+1)^2}\,.
Passo 3
Mostramos que \bigl|a_n\bigr| é estritamente decrescente, ou seja,