Exercício 6 (P1 de 2021/1). Determine ao menos os quatro primeiros termos diferentes de zero da solução em série de potências do PVI
y^prime prime-sen(x) y=0 ; y(pi)=1, y^prime(pi)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências do PVI
y'' - sin(x),y = 0, y(pi)=1,;y'(pi)=0
ou seja, queremos um desenvolvimento em torno de x0=pi. Vamos usar como variável t = x - pi e buscar
y = sumn=0^infty an,t^n

Passo 2

Precisamos também da série de sin(x) em torno de x=pi. Como sin(x)=sin(pi+t)=-sin(t) e
sin(t)=sumk=0^infty(-1)^kt^2k+1(2k+1)!,
temos
sin(x)=-sumk=0^infty(-1)^kt^2k+1(2k+1)! =summ ímparsm,t^m, í
com
s1=-1, s3=16, s5=-1120,dots

Passo 3

Da série vem
O produto gera
,
e a equação implica, para cada ,
Logo o termo geral é

Passo 4

As condições iniciais dão
;a0=y(pi)=1,;a1=y'(pi)=0.
Agora calculamos recorrentemente os primeiros coeficientes não nulos:
n =0:
a2=s1,a-12cdot1=0
n =1:
a3=s1,a03cdot2 =-1cdot16 =-16
n =2:
a4=s1,a1+s3,a-14cdot3=0
n =3:
a5=s1,a2+s3,a05cdot4 =0+tfrac1620 =1120
n =4:
a6=s1,a3+s3,a1+s5,a-16cdot5 =-1cdotl(-tfrac16r)30 =1180

Resposta

Os quatro primeiros termos diferentes de zero são
y = a0 + a3,t^3 + a5,t^5 + a6,t^6 + cdots =1 - 16(x-pi)^3 + 1120(x-pi)^5 + 1180(x-pi)^6 + cdots

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