Exercício 5 (Paralelogramo) Considere-se um paralelogramo ; considerem-se os pontos , definidos por ; I é o ponto médio do segmento [B C]; o ponto E é simétrico de I em relação ao ponto B.
5.4 Deduzir que os pontos D, E e F estão alinhados.
Passo 1
O enunciado descreve um paralelogramo ABCD. Definimos três pontos: F em que AF=tfrac23AB, I ponto médio de [BC] e E simétrico de I em relação a B. Queremos mostrar que D, E e F são colineares.
Conteúdo: geometria vetorial (descrição de pontos por vetores e colinearidade).
Passo 2
Colocamos A como origem do sistema de vetores. Seja AB=vec b e AD=vec d.
Então OB=vec b, OD=vec d e, como ABCD é paralelogramo, OC=vec b+vec d.
Passo 3
Usando as definições:
– OF=AF=tfrac23vec b.
– Como I é o ponto médio de [BC], BI=tfrac12(BC)=tfrac12vec d, logo OI=OB+BI=vec b+tfrac12vec d.
– E é simétrico de I em B, então BE=-BI=-tfrac12vec d e OE=OB+BE=vec b-tfrac12vec d.
Passo 4
Para verificar colinearidade, calculamos os vetores FE e FD:
FE =OE-OF =l(vec b-tfrac12vec dr) -tfrac23vec b =tfrac13vec b-tfrac12vec d,
FD =OD-OF =vec d-tfrac23vec b =-tfrac23vec b+vec d
Note que
FE =-tfrac12l(-tfrac23vec b+vec dr) =-tfrac12,FD
Como FE é múltiplo escalar de FD, os pontos F,E,D são colineares.