Exercício 5 (Paralelogramo) Considere-se um paralelogramo A B C D; considerem-se os pontos F, I, E, definidos por A F=23 A B; I é o ponto médio do segmento [B C]; o ponto E é simétrico de I em relação ao ponto B.
5.4 Deduzir que os pontos D, E e F estão alinhados.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelogramo ABCD. Definimos três pontos: F em que AF=tfrac23AB, I ponto médio de [BC] e E simétrico de I em relação a B. Queremos mostrar que D, E e F são colineares.
Conteúdo: geometria vetorial (descrição de pontos por vetores e colinearidade).

Passo 2

Colocamos A como origem do sistema de vetores. Seja
AB=vec b e AD=vec d.
Então
OB=vec b,
OD=vec d e, como ABCD é paralelogramo,
OC=vec b+vec d.

Passo 3

Usando as definições:
OF=AF=tfrac23vec b.
– Como I é o ponto médio de [BC], BI=tfrac12(BC)=tfrac12vec d, logo
OI=OB+BI=vec b+tfrac12vec d.
E é simétrico de I em B, então BE=-BI=-tfrac12vec d e
OE=OB+BE=vec b-tfrac12vec d.

Passo 4

Para verificar colinearidade, calculamos os vetores FE e FD:
FE =OE-OF =l(vec b-tfrac12vec dr) -tfrac23vec b =tfrac13vec b-tfrac12vec d,
FD =OD-OF =vec d-tfrac23vec b =-tfrac23vec b+vec d
Note que
FE =-tfrac12l(-tfrac23vec b+vec dr) =-tfrac12,FD
Como FE é múltiplo escalar de FD, os pontos F,E,D são colineares.

Resposta

Os pontos D, E e F estão alinhados.

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