Exercício 1 Uma partícula desloca-se no espaço com equações paramétricas x=x(t), y=y(t) e z=z(t) de tal forma que
x^prime(t)=raiz2, y^prime(t)=raiz2 e z^prime prime(t)=-2
Sabe-se ainda que z^prime(0)=2 e que (x(0), y(0), z(0))=(0,0,0).
(a) Qual a posição da partícula num instante t?
(b) Determine o instante T no qual a partícula volta a tocar o plano x y.
© Qual o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=T ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a posição de uma partícula no espaço cujas derivadas das coordenadas são dadas, depois achar o instante em que ela volta ao plano xy e calcular o espaço percorrido. O conteúdo envolve integração de derivadas em 3D (MRU e MUV na componente z) e cálculo de comprimento de curva.

Passo 2

Para as componentes x(t) e y(t), integramos
x'(t)=raiz2implies x(t)=raiz2,t + Cx
y'(t)=raiz2implies y(t)=raiz2,t + Cy
Usando x(0)=0 e y(0)=0, temos C_x=C_y=0. Logo
$$x(t)=\sqrt{2},t,
\quad y(t)=\sqrt{2},t.$$

Passo 3

Para a componente z, primeiro integramos
$$
z’’(t)=-2\implies z’(t)=-2t + C_1. z''(t)=-2implies z'(t)=-2t + C1z’(t)=2 - 2t.$$
Integramos de novo:
$$
z(t)=2t - t^2 + C_2. z'(t)=2 - 2táz(t)=2t - t^2.$$

Passo 4

Para achar o instante T>0 em que a partícula retorna ao plano xy, resolvemos
$$
z(T)=0\implies 2T - T^2 =0\implies T(2-T)=0. z(T)=0implies 2T - T^2 =0implies T(2-T)=0T=2.$$

Passo 5

Para o espaço percorrido de t=0 até t=T usamos
$$
L=\int_{0}^{2} |v(t)|,dt,\quad v(t)=(\sqrt{2},\sqrt{2},2-2t). L=integral0^2 |v(t)|,dt, v(t)=(raiz2,raiz2,2-2t)
|v(t)|=\sqrt{2+2+(2-2t)2}=2\sqrt{1+(1-t)2}. |v(t)|=raiz2+2+(2-2t)^2=2raiz1+(1-t)^2
L=2\int_{0}{2}\sqrt{1+(1-t)2},dt=4\int_{0}{1}\sqrt{1+u2},du
L=2integral0^2raiz1+(1-t)^2,dt=4integral0^1raiz1+u^2,du ó
\int_{0}{1}\sqrt{1+u2},du=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2}). integral0^1raiz1+u^2,du=raiz22+12ln(1+raiz2)L=2\sqrt{2}+2\ln(1+\sqrt{2}).$$

Resposta

(a) r(t)=(raiz2,t,,raiz2,t,,2t - t^2); (b) T=2; © L = 2raiz2 + 2ln(1+raiz2).

Exercícios relacionados