Exercício 1 Uma partícula desloca-se no espaço com equações paramétricas
de tal forma que
Sabe-se ainda que
e que
.
(a) Qual a posição da partícula num instante t?
(b) Determine o instante
no qual a partícula volta a tocar o plano
.
© Qual o espaço percorrido entre os instantes
e
?
(a) Qual a posição da partícula num instante t?
(b) Determine o instante
© Qual o espaço percorrido entre os instantes
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos a posição de uma partícula no espaço cujas derivadas das coordenadas são dadas, depois achar o instante em que ela volta ao plano xy e calcular o espaço percorrido. O conteúdo envolve integração de derivadas em 3D (MRU e MUV na componente z) e cálculo de comprimento de curva.
Passo 2
Para as componentes x(t) e y(t), integramos
Usando x(0)=0 e y(0)=0, temos C_x=C_y=0. Logo
$$x(t)=\sqrt{2},t,
\quad y(t)=\sqrt{2},t.$$
Passo 3
Para a componente z, primeiro integramos
$$
z’’(t)=-2\implies z’(t)=-2t + C_1.
z’(t)=2 - 2t.$$
Integramos de novo:
$$
z(t)=2t - t^2 + C_2.
z(t)=2t - t^2.$$
Passo 4
Para achar o instante T>0 em que a partícula retorna ao plano xy, resolvemos
$$
z(T)=0\implies 2T - T^2 =0\implies T(2-T)=0.
T=2.$$
Passo 5
Para o espaço percorrido de t=0 até t=T usamos
$$
L=\int_{0}^{2} |v(t)|,dt,\quad v(t)=(\sqrt{2},\sqrt{2},2-2t).
|v(t)|=\sqrt{2+2+(2-2t)2}=2\sqrt{1+(1-t)2}.
L=2\int_{0}{2}\sqrt{1+(1-t)2},dt=4\int_{0}{1}\sqrt{1+u2},du
\int_{0}{1}\sqrt{1+u2},du=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2}).
L=2\sqrt{2}+2\ln(1+\sqrt{2}).$$
Resposta
(a)
; (b)
; ©
.