Exercício 4. Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma média de 45 minutos, com desvio padrão de 12 minutos naquela loja. Esse tempo gasto na loja é normalmente distribuído. Uma pessoa entra na loja.
a) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja entre 24 e 54 minutos?
b) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja mais que 39 minutos?
c) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela entre 24 e 54 minutos?
d) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela por mais de 39 minutos?
[Ex. 19 de: https://www.professorguru.com.br/estatistica/distribuicao-normal.html]

Passo 1

O enunciado diz que o tempo gasto na loja, que chamaremos de X, é normalmente distribuído com média \mu=45 minutos e desvio-padrão \sigma=12 minutos. Precisamos calcular probabilidades envolvendo X e depois converter essas probabilidades em números de pessoas, considerando uma amostra de 200 indivíduos.

Passo 2

Para calcular \Pr(24\le X\le54), padronizamos X em Z\sim N(0,1):
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
Logo,
\Pr(24\le X\le54) = \Pr\Bigl(\frac{24-45}{12}\le Z\le\frac{54-45}{12}\Bigr) = \Pr(-1,75\le Z\le0,75).
Pelos valores das tabelas da normal padrão, \Phi(0,75)\approx0,7734 e \Phi(-1,75)=1-\Phi(1,75)\approx1-0,9599=0,0401. Assim,
\Pr(24\le X\le54) = \Phi(0,75)-\Phi(-1,75) \approx0,7734-0,0401 =0,7333.

Passo 3

Para \Pr(X>39), fazemos padronização semelhante:
\Pr(X>39) = \Pr\Bigl(Z>\frac{39-45}{12}\Bigr) = \Pr(Z>-0,5).
Como \Pr(Z>-0,5)=\Phi(0,5) e \Phi(0,5)\approx0,6915, temos
\Pr(X>39)\approx0,6915.

Passo 4

Para estimar quantas pessoas, de um total de 200, ficam entre 24 e 54 minutos, multiplicamos a probabilidade pela amostra:
200\times0,7333 \approx146,66.
Arredondando para o inteiro mais próximo, espera-se que cerca de 147 pessoas fiquem nesse intervalo.

Passo 5

De modo análogo, o número de pessoas que ficam mais de 39 minutos é
200\times0,6915 \approx138,30,
ou seja, aproximadamente 138 pessoas.

Resposta

(a) 0,7333
(b) 0,6915
(c) 147 pessoas
(d) 138 pessoas

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