Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com \mathbb{E}\left[X^{2}\right], \mathbb{E}\left[Y^{2}\right]<\infty. Definimos a covariância entre X e Y por \operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])]. Mostre que
\operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}[X Y]-\mathbb{E}[X] \mathbb{E}[Y].

Passo 1

O enunciado define duas variáveis aleatórias X e Y com \mathbb{E}[X^2] e \mathbb{E}[Y^2] finitos, e a covariância como
\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}\bigl[(X-\mathbb{E}[X])\,(Y-\mathbb{E}[Y])\bigr].
Queremos mostrar que essa definição é equivalente a
\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[X\,Y]\;-\;\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].

Passo 2

Expandimos o produto dentro da esperança:
(X-\mathbb{E}[X])\,(Y-\mathbb{E}[Y]) = X\,Y \;-\;X\,\mathbb{E}[Y]\;-\;\mathbb{E}[X]\,Y\;+\;\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].

Passo 3

Aplicamos a linearidade da expectativa, lembrando que \mathbb{E}[Y] e \mathbb{E}[X] são constantes:
\mathbb{E}[X\,Y] -\mathbb{E}\bigl[X\,\mathbb{E}[Y]\bigr] -\mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}[X]\,Y\bigr] +\mathbb{E}\bigl[\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y]\bigr].
Isto é
\mathbb{E}[X\,Y] -\mathbb{E}[Y]\,\mathbb{E}[X] -\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y] +\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y] =\mathbb{E}[X\,Y]-\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].

Resposta

\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[X\,Y]\;-\;\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].

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