Seja X a renda familiar em R$1.000 e Y o número de carros da família. Considere o quadro:
X
2
3
4
2
3
3
4
2
2
3
Y
1
2
2
2
1
3
3
1
2
2
Calcule:
e
| X | 2 | 3 | 4 | 2 | 3 | 3 | 4 | 2 | 2 | 3 |
| Y | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 | 3 | 3 | 1 | 2 | 2 |
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
e
.\n
Informações dadas (dados brutos):
Informações dadas (dados brutos):
Observação:
é a renda familiar em R$1.000 (unidade: mil reais) e
é o número de carros da família. Vou entender que temos os 10 observações como a população sobre a qual queremos a variância (fórmula populacional).]
Passo 2
Primeiro passo prático: organizar os valores repetidos de
(contagem/frequência) para facilitar a soma.
Valores possíveis de e suas contagens (peguei esses números da linha de
do quadro):
Valores possíveis de
Confirmação rápida:
observações no total.
Passo 3
Vamos calcular a média (esperança) de
. Conceito rápido: a média
é a soma dos valores dividido pelo número de observações; em notação discreta,
Aqui, usando as contagens:
Agora as contas:
Passo 4
Para calcular a variância pela forma
precisamos de
. Explicando a fórmula:
é a média dos quadrados dos valores; a identidade
vem de expandir
e usar linearidade da esperança. Aqui,
Usando as contagens:
Calculemos:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da variância:
Calculemos
:
Logo
Interpretação curta: a variância de
é
em unidades de
. Se quiser o desvio padrão, seria
, mas o enunciado pediu só a variância.
Passo 6
Agora repetimos para
. Primeiro organizo as contagens dos valores de
(peguei esses números da linha de
do quadro):
Confirmação:
observações.
Passo 7
Calcule a média de
:
Fazendo as contas:
Passo 8
Calcule
(média dos quadrados):
Computando:
Passo 9
Aplicando a fórmula da variância para
:
Calculemos
:
Logo
Interpretação: a variância de
é
em unidades “carros^2”.