Seja X a renda familiar em R$1.000 e Y o número de carros da família. Considere o quadro:
X 2 3 4 2 3 3 4 2 2 3
Y 1 2 2 2 1 3 3 1 2 2
Calcule:
\operatorname{Var}(X) e \operatorname{Var}(Y)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \operatorname{Var}(X) e \operatorname{Var}(Y).\n
Informações dadas (dados brutos):
\begin{array}{cccccccccc} X: & 2 & 3 & 4 & 2 & 3 & 3 & 4 & 2 & 2 & 3\\[4pt] Y: & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 & 3 & 3 & 1 & 2 & 2 \end{array}
Observação: \!X é a renda familiar em R$1.000 (unidade: mil reais) e Y é o número de carros da família. Vou entender que temos os 10 observações como a população sobre a qual queremos a variância (fórmula populacional).]

Passo 2

Primeiro passo prático: organizar os valores repetidos de X (contagem/frequência) para facilitar a soma.
Valores possíveis de X e suas contagens (peguei esses números da linha de X do quadro):
\begin{array}{c|ccc} x & 2 & 3 & 4\\hline \text{contagem} & 4 & 4 & 2 \end{array}
Confirmação rápida: 4+4+2=10 observações no total.

Passo 3

Vamos calcular a média (esperança) de X. Conceito rápido: a média \mu_X é a soma dos valores dividido pelo número de observações; em notação discreta,
\mu_X = E[X] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui, usando as contagens:
\mu_X = \frac{2\cdot 4 + 3\cdot 4 + 4\cdot 2}{10}.
Agora as contas:
2\cdot 4 = 8,\quad 3\cdot 4 = 12,\quad 4\cdot 2 = 8,
\mu_X = \frac{8+12+8}{10} = \frac{28}{10} = 2,8.

Passo 4

Para calcular a variância pela forma \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\mu_X^2 precisamos de E[X^2]. Explicando a fórmula: E[X^2] é a média dos quadrados dos valores; a identidade
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-\mu_X)^2\big]=E[X^2]-\mu_X^2
vem de expandir (X-\mu_X)^2 e usar linearidade da esperança. Aqui,
E[X^2]=\frac{1}{10}\sum x_i^2.
Usando as contagens:
E[X^2]=\frac{2^2\cdot 4 + 3^2\cdot 4 + 4^2\cdot 2}{10}.
Calculemos:
2^2\cdot 4 = 4\cdot 4 = 16,\quad 3^2\cdot 4 = 9\cdot 4 = 36,\quad 4^2\cdot 2 = 16\cdot 2 = 32,
E[X^2]=\frac{16+36+32}{10}=\frac{84}{10}=8,4.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\mu_X^2 = 8,4 - (2,8)^2.
Calculemos (2,8)^2:
(2,8)^2 = 2,8\times 2,8 = 7,84.
Logo
\operatorname{Var}(X) = 8,4 - 7,84 = 0,56.
Interpretação curta: a variância de X é 0,56 em unidades de (\text{R\$1.000})^2. Se quiser o desvio padrão, seria \sqrt{0,56}, mas o enunciado pediu só a variância.

Passo 6

Agora repetimos para Y. Primeiro organizo as contagens dos valores de Y (peguei esses números da linha de Y do quadro):
\begin{array}{c|ccc} y & 1 & 2 & 3\\hline \text{contagem} & 3 & 5 & 2 \end{array}
Confirmação: 3+5+2=10 observações.

Passo 7

Calcule a média de Y:
\mu_Y = E[Y] = \frac{1\cdot 3 + 2\cdot 5 + 3\cdot 2}{10}.
Fazendo as contas:
1\cdot 3 = 3,\quad 2\cdot 5 = 10,\quad 3\cdot 2 = 6,
\mu_Y = \frac{3+10+6}{10} = \frac{19}{10} = 1,9.

Passo 8

Calcule E[Y^2] (média dos quadrados):
E[Y^2] = \frac{1^2\cdot 3 + 2^2\cdot 5 + 3^2\cdot 2}{10}.
Computando:
1^2\cdot 3 = 1\cdot 3 = 3,\quad 2^2\cdot 5 = 4\cdot 5 = 20,\quad 3^2\cdot 2 = 9\cdot 2 = 18,
E[Y^2]=\frac{3+20+18}{10}=\frac{41}{10}=4,1.

Passo 9

Aplicando a fórmula da variância para Y:
\operatorname{Var}(Y)=E[Y^2]-\mu_Y^2 = 4,1 - (1,9)^2.
Calculemos (1,9)^2:
(1,9)^2 = 1,9\times 1,9 = 3,61.
Logo
\operatorname{Var}(Y) = 4,1 - 3,61 = 0,49.
Interpretação: a variância de Y é 0,49 em unidades “carros^2”.

Resposta

\operatorname{Var}(X)=0,56
\operatorname{Var}(Y)=0,49

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