Exercício 3 - Uma placa plana se move com velocidade constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma película de óleo de espessura 2 mm . O gradiente de velocidade no fluido é linear e a viscosidade dinâmica do óleo é 0,1 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}. Determine a tensão de cisalhamento que atua na placa e a força necessária para manter o movimento, sabendo que a área da placa é 0,5 \mathrm{~m}^{2}. ( \mathrm{t}=150 \mathrm{~Pa} ; \mathrm{F}=75 \mathrm{~N} )

Passo 1

O enunciado descreve uma placa que se move a u=3\\ \mathrm{m/s} sobre uma película de óleo de espessura \delta=2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}. O gradiente de velocidade no fluido é linear, e a viscosidade dinâmica do óleo é \mu=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Para resolver, vamos usar a lei de Newton da viscosidade, que diz que a tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\frac{du}{dy}
e, em seguida, obter a força necessária por
F = \tau\,A,
onde A=0,5\\ \mathrm{m^2} é a área da placa.

Passo 2

Como o perfil de velocidade é linear de u=3\\ \mathrm{m/s} na placa até u=0 no fundo em distância \delta, o gradiente é
\frac{du}{dy} = \frac{\Delta u}{\Delta y} = \frac{3}{0,002} = 1500\\ \mathrm{s^{-1}}.
Logo, aplicando a lei de Newton da viscosidade,
\tau = \mu\,\frac{du}{dy} = 0,1 \times 1500 = 150\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Com a tensão de cisalhamento \tau=150\\ \mathrm{Pa} e área A=0,5\\ \mathrm{m^2}, a força necessária para manter o movimento é
F = \tau\,A = 150 \times 0,5 = 75\\ \mathrm{N}.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa é \tau = 150\\ \mathrm{Pa}, e a força necessária para manter o movimento é F = 75\\ \mathrm{N}.

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