Exercício 4 ( 2,0 pontos) - Um elétron de um átomo de hidrogênio encontra-se em seu estado fundamental. Determine:
a) a probabilidade de que o elétron se encontre no interior do próton cuja dimensão é r \sim 1 \mathrm{~F}=10^{-15} \mathrm{~m};
b) a distância mais provável entre o próton e o elétron;
c) a probabilidade de presença entre 0,99 a e 1,11 a, onde a é o raio de Bohr;
d) os valores médios <r>, <r> { }^{2}.

Passo 1

O enunciado trata de um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio e pede:
– (a) probabilidade de achar o elétron dentro de uma esfera de raio r\sim10^{-15}\,\mathrm m (dimensão do próton);
– (b) distância mais provável entre elétron e próton;
– (c) probabilidade de presença entre 0{,}99\,a e 1{,}11\,a, onde a é o raio de Bohr;
– (d) os valores médios \langle r\rangle e \langle r^2\rangle.
Para resolver, vamos usar a função de onda do estado fundamental e a distribuição radial de probabilidade.

Passo 2

A função de onda do estado fundamental é
\psi_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi\,a^3}}\,e^{-r/a},
logo a densidade de probabilidade é
|\psi_{100}(r)|^2=\frac{1}{\pi\,a^3}e^{-2r/a}.
A probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr é
P(r)\,dr =4\pi r^2|\psi_{100}(r)|^2\,dr =\frac{4\,r^2}{a^3}e^{-2r/a}\,dr.

Passo 3

Para (a), a probabilidade dentro de uma esfera de raio r_p=10^{-15}\,\mathrm m é
P(r<r_p)=\int_{0}^{r_p}\frac{4\,r^2}{a^3}e^{-2r/a}\,dr.
Como r_p\ll a, podemos aproximar e^{-2r/a}\approx1 e
P(r<r_p)\approx \int_{0}^{r_p}\frac{4\,r^2}{a^3}\,dr =\frac{4}{3}\,\frac{r_p^3}{a^3}.
Substituindo r_p=10^{-15}\,\mathrm m e a\approx5{,}29\times10^{-11}\,\mathrm m
P(r<r_p)\approx\frac{4}{3}\Bigl(\frac{10^{-15}}{5{,}29\times10^{-11}}\Bigr)^3\sim10^{-14}.

Passo 4

Para (b), buscamos o r que maximiza P(r)\propto r^2e^{-2r/a}. Fazendo
\frac{d}{dr}\bigl(r^2e^{-2r/a}\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad 2r e^{-2r/a}-\frac{2}{a}r^2e^{-2r/a}=0 \quad\Rightarrow\quad r=0\\ \text{ou}\\ r=a.
Descartando r=0, a distância mais provável é
r_{\rm mp}=a.

Passo 5

Para (c), a probabilidade de r estar em [0{,}99a,\,1{,}11a] é
P(0{,}99a<r<1{,}11a) =F(1{,}11a)-F(0{,}99a),
onde
F(R)=\int_{0}^{R}\frac{4\,r^2}{a^3}e^{-2r/a}\,dr =1-e^{-2R/a}\Bigl(1+2\frac{R}{a}+2\frac{R^2}{a^2}\Bigr).
Calculando numericamente
F(1{,}11a)\approx0{,}386,\quad F(0{,}99a)\approx0{,}318 \quad\Rightarrow\quad P\approx0{,}386-0{,}318=0{,}068.

Passo 6

Para (d), usamos a fórmula geral
\langle r^k\rangle =\int_{0}^{\infty}r^k\,P(r)\,dr =\frac{a^k\,(k+2)!}{2^{\,k+1}}.
Em particular, para k=1 e k=2:
\langle r\rangle =\frac{3!}{2^2}\,a=\frac{3a}{2}, \quad \langle r^2\rangle =\frac{4!}{2^3}\,a^2=3\,a^2.

Resposta

(a) P(r<10^{-15}\,\mathrm m)\sim10^{-14}.
(b) r_{\rm mp}=a.
(c) P(0{,}99a<r<1{,}11a)\approx0{,}068.
(d) \langle r\rangle=3a/2, \langle r^2\rangle=3a^2.

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