Exercício 4 ( 2,0 pontos) - Um elétron de um átomo de hidrogênio encontra-se em seu estado fundamental. Determine:
a) a probabilidade de que o elétron se encontre no interior do próton cuja dimensão é
;
b) a distância mais provável entre o próton e o elétron;
c) a probabilidade de presença entre 0,99 a e 1,11 a, onde a é o raio de Bohr;
d) os valores médios <r>, <r>
.
a) a probabilidade de que o elétron se encontre no interior do próton cuja dimensão é
b) a distância mais provável entre o próton e o elétron;
c) a probabilidade de presença entre 0,99 a e 1,11 a, onde a é o raio de Bohr;
d) os valores médios <r>, <r>
Passo 1
O enunciado trata de um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio e pede:
– (a) probabilidade de achar o elétron dentro de uma esfera de raio (dimensão do próton);
– (b) distância mais provável entre elétron e próton;
– (c) probabilidade de presença entre e
, onde
é o raio de Bohr;
– (d) os valores médios e
.
Para resolver, vamos usar a função de onda do estado fundamental e a distribuição radial de probabilidade.
– (a) probabilidade de achar o elétron dentro de uma esfera de raio
– (b) distância mais provável entre elétron e próton;
– (c) probabilidade de presença entre
– (d) os valores médios
Para resolver, vamos usar a função de onda do estado fundamental e a distribuição radial de probabilidade.
Passo 2
A função de onda do estado fundamental é
logo a densidade de probabilidade é
A probabilidade de encontrar o elétron entre
e
é
Passo 3
Para (a), a probabilidade dentro de uma esfera de raio
é
Como
, podemos aproximar
e
Substituindo
e
dá
Passo 4
Para (b), buscamos o
que maximiza
. Fazendo
Descartando
, a distância mais provável é
Passo 5
Para (c), a probabilidade de
estar em
é
onde
Calculando numericamente
Passo 6
Para (d), usamos a fórmula geral
Em particular, para
e
:
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) ,
.
(b)
(c)
(d)