Exercício 1 (1,0 ponto) - Obtenha a equação de Schrödinger independente do tempo por meio da técnica de separação de variáveis. Após isso obtenha a função de onda \Psi(x, t) para a partícula livre

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, derivar a equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação dependente do tempo usando separação de variáveis; depois, encontrar a função de onda \Psi(x,t) para uma partícula livre (isto é, V(x)=0). Vamos precisar recordar a forma da equação dependente do tempo e a técnica de assumir \Psi(x,t)=\varphi(x)\,T(t).

Passo 2

Escrevemos a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão:
i\hbar\,\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} +V(x)\,\Psi(x,t).
Assumimos o ansatz de separação de variáveis
\Psi(x,t)=\varphi(x)\,T(t).
Substituímos na equação acima.

Passo 3

Depois de substituir, dividimos ambos os lados por \varphi(x)\,T(t), obtendo
i\hbar\,\frac{1}{T(t)}\frac{dT(t)}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{1}{\varphi(x)}\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} +V(x).
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x, logo ambos devem ser iguais a uma constante de separação, que chamamos de energia E.

Passo 4

Isso gera dois problemas ordinários:
i\hbar\,\frac{1}{T}\,\frac{dT}{dt}=E \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}\,T \quad\Longrightarrow\quad T(t)=e^{-\,\frac{iE}{\hbar}\,t},
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\varphi}{dx^2}+V(x)\,\varphi(x)=E\,\varphi(x),
que é a equação de Schrödinger independente do tempo. A solução geral da equação dependente do tempo fica
\Psi(x,t)=\varphi(x)\,e^{-\,\frac{iE}{\hbar}\,t}.

Passo 5

Para partícula livre tomamos V(x)=0. A parte espacial satisfaz
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\varphi}{dx^2}=E\,\varphi \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2\varphi}{dx^2}+k^2\,\varphi=0,
com
k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}.
A solução é combinação de ondas planas
\varphi(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}.
Logo, a função de onda completa para energia E é
\Psi(x,t)=\bigl(A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}\bigr)\,e^{-\,\tfrac{iE}{\hbar}t}.
Um caso particular é a onda única
\Psi(x,t)=A\,e^{i\bigl(kx-\omega t\bigr)},
onde \omega=E/\hbar=\hbar k^2/(2m).

Resposta

A equação independente do tempo é
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi}{dx^2}+V(x)\,\varphi=E\,\varphi,
e, para V(x)=0, a função de onda da partícula livre é
\Psi(x,t)=\bigl(A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}\bigr)\,e^{-\,\tfrac{i\hbar k^2}{2m}\,t},
ou, para uma onda plana única,
\Psi(x,t)=A\,e^{i\bigl(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}\,t\bigr)}.

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