Exercício 1 (1,0 ponto) - Obtenha a equação de Schrödinger independente do tempo por meio da técnica de separação de variáveis. Após isso obtenha a função de onda
para a partícula livre
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, derivar a equação de Schrödinger independente do tempo a partir da equação dependente do tempo usando separação de variáveis; depois, encontrar a função de onda
para uma partícula livre (isto é,
). Vamos precisar recordar a forma da equação dependente do tempo e a técnica de assumir
.
Passo 2
Escrevemos a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão:
Assumimos o ansatz de separação de variáveis
Substituímos na equação acima.
Passo 3
Depois de substituir, dividimos ambos os lados por
, obtendo
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, logo ambos devem ser iguais a uma constante de separação, que chamamos de energia
.
Passo 4
Isso gera dois problemas ordinários:
que é a equação de Schrödinger independente do tempo. A solução geral da equação dependente do tempo fica
Passo 5
Para partícula livre tomamos
. A parte espacial satisfaz
com
A solução é combinação de ondas planas
Logo, a função de onda completa para energia
é
Um caso particular é a onda única
onde
.
Resposta
A equação independente do tempo é
e, para
, a função de onda da partícula livre é
ou, para uma onda plana única,