use o método de reduçāo de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
t^{2} y^{\prime \prime}-t(t+2) y^{\prime}+(t+2) y=0, \quad t>0 ; \quad y_{1}(t)=t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''-t(t+2)y'+(t+2)y=0,\quad t>0
e informa uma solução conhecida y_{1}(t)=t. Queremos, pelo método de redução de ordem, encontrar uma segunda solução y_{2}(t) linearmente independente de y_{1}.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por t^{2}:
y''-\frac{t+2}{t}\,y'+\frac{t+2}{t^{2}}\,y=0.
Dessa forma, podemos identificar
P(t)=-\frac{t+2}{t}, \quad Q(t)=\frac{t+2}{t^{2}}.

Passo 3

No método de redução de ordem, usamos a fórmula
y_{2}=y_{1}\int \frac{\exp\bigl(-\int P(t)\,dt\bigr)}{y_{1}^{2}}\,dt.
Calculamos primeiro
\int P(t)\,dt =\int\Bigl(-1-\frac{2}{t}\Bigr)\,dt =-t-2\ln t,
e então
\exp\bigl(-\!\int P(t)\,dt\bigr) =\exp\bigl(t+2\ln t\bigr) =e^{t}\,t^{2}.

Passo 4

Substituindo em y_{2}:
y_{2} =t\int \frac{e^{t}\,t^{2}}{t^{2}}\,dt =t\int e^{t}\,dt =t\,e^{t}.
Portanto, uma segunda solução é y_{2}(t)=t\,e^{t}.

Resposta

A segunda solução é
y_{2}(t)=t\,e^{t}.

Exercícios relacionados