use o método de reduçāo de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
x^{2} y^{\prime \prime}-(x-0,1875) y=0, \quad x>0 ; \quad y_{1}(x)=x^{1+} e^{2 \sqrt{x}}

Passo 1

Temos a equação diferencial
x^{2}y''-(x-0,1875)\,y=0, \quad x>0,
e uma solução conhecida
y_{1}(x)=x^{\tfrac12}e^{2\sqrt{x}}.
O objetivo é usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0.
Dividindo por x^{2} obtemos
y''-\Bigl(\frac{x}{x^{2}}-\frac{0,1875}{x^{2}}\Bigr)y=0 \quad\Longrightarrow\quad y''-\Bigl(\frac1x-\frac{3/16}{x^{2}}\Bigr)y=0.
Note que aqui não há termo em y', ou seja p(x)=0.

Passo 3

No método de redução de ordem usamos a fórmula
y_{2}(x) = y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx = y_{1}(x)\int \frac{1}{y_{1}(x)^{2}}\,dx,
já que \int p(x)\,dx=0.

Passo 4

Calculamos
\frac{1}{y_{1}(x)^{2}} =\frac{1}{\bigl(x^{\tfrac12}e^{2\sqrt{x}}\bigr)^{2}} =\frac{1}{x\,e^{4\sqrt{x}}} =x^{-1}e^{-4\sqrt{x}}.
Logo precisamos avaliar
\int x^{-1}e^{-4\sqrt{x}}\,dx.
Fazendo t=\sqrt{x}, x=t^{2}, dx=2t\,dt, obtemos
\int x^{-1}e^{-4\sqrt{x}}\,dx =\int \frac{1}{t^{2}}e^{-4t}\,2t\,dt =2\int \frac{e^{-4t}}{t}\,dt =2\,\mathrm{Ei}(-4t)+C.
Voltando a x:
\int x^{-1}e^{-4\sqrt{x}}\,dx =2\,\mathrm{Ei}(-4\sqrt{x})+C.

Passo 5

Substituímos na expressão de y_{2}:
y_{2}(x) =y_{1}(x)\,\bigl[2\,\mathrm{Ei}(-4\sqrt{x})\bigr] =2\,x^{\tfrac12}e^{2\sqrt{x}}\,\mathrm{Ei}(-4\sqrt{x}).
Como qualquer múltiplo não-nulo de solução também é solução, podemos retirar o fator 2.

Resposta

y_{2}(x) =x^{\tfrac12}e^{2\sqrt{x}}\,\mathrm{Ei}\bigl(-4\sqrt{x}\bigr),
onde \mathrm{Ei} é a função exponencial integrada.

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