Exercício 3. (1.2 Pontos)

Ache o ângulo entre os planos
\begin{aligned} & \pi_{1}: 2 x-3 y+8 z-7=0 \\\ & \pi_{2}: x+2 y-3 z+2=0 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre dois planos
\pi_{1}:2x-3y+8z-7=0
e
\pi_{2}:x+2y-3z+2=0.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: o ângulo entre planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano. Para \pi_{1}:2x-3y+8z-7=0, o normal é
\mathbf{n}_{1}=(2,\,-3,\,8),
e para \pi_{2}:x+2y-3z+2=0, o normal é
\mathbf{n}_{2}=(1,\,2,\,-3).

Passo 3

Calculamos o produto escalar \mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2} e as normas \|\mathbf{n}_{1}\|, \|\mathbf{n}_{2}\|:
\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2} =2\cdot1+(-3)\cdot2+8\cdot(-3) =2-6-24 =-28,
\|\mathbf{n}_{1}\|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+8^{2}} =\sqrt{4+9+64} =\sqrt{77},
\|\mathbf{n}_{2}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{1+4+9} =\sqrt{14}.

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta entre os planos (isto é, entre \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2}) é dado por
\cos\theta =\frac{\bigl|\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}\bigr|}{\|\mathbf{n}_{1}\|\;\|\mathbf{n}_{2}\|} =\frac{|-28|}{\sqrt{77}\,\sqrt{14}} =\frac{28}{\sqrt{77\cdot14}} =\frac{28}{\sqrt{1078}}.
Simplificando, como 1078=14\cdot77, temos
\cos\theta =\frac{28}{\sqrt{14}\,\sqrt{77}} =\frac{28}{\sqrt{14}\,\sqrt{77}} =\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{77}} =2\sqrt{\frac{2}{11}}.
Portanto,
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(2\sqrt{\tfrac{2}{11}}\bigr).

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(2\sqrt{\tfrac{2}{11}}\bigr).

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