Exercício 2. (1.3 Pontos)

Ache os pontos da reta r : x-1=2 y=z que equidistam dos planos
\pi_{1}: 3 x-5 y+8 z-12=0
e
\pi_{2}:-6 x+10 y-16 z+3=0 .

Passo 1

O enunciado pede os pontos da reta \,r:\;x-1=2y=z
que estão à mesma distância dos planos
\pi_{1}:3x-5y+8z-12=0
e
\pi_{2}:-6x+10y-16z+3=0.
Conteúdo: geometria analítica de reta e plano, usando a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Parametrizamos a reta. Sejam t=z. Da igualdade 2y=z vem
y=\frac{t}{2},
e de x-1=z vem
x=1+t.
Logo todo ponto de r é
(x,y,z)=(1+t,\;\tfrac{t}{2},\;t).

Passo 3

Para um ponto genérico (x,y,z) a distância ao plano \pi_{1} é
d_{1}=\frac{\bigl|3x-5y+8z-12\bigr|}{\sqrt{3^{2}+(-5)^{2}+8^{2}}} =\frac{\bigl|3x-5y+8z-12\bigr|}{7\sqrt{2}},
e ao plano \pi_{2} é
d_{2}=\frac{\bigl|-6x+10y-16z+3\bigr|}{\sqrt{(-6)^{2}+10^{2}+(-16)^{2}}} =\frac{\bigl|-6x+10y-16z+3\bigr|}{14\sqrt{2}}.
Queremos d_{1}=d_{2}.

Passo 4

Igualando d_{1}=d_{2} e simplificando as raízes:
\frac{\bigl|3x-5y+8z-12\bigr|}{7\sqrt{2}} = \frac{\bigl|-6x+10y-16z+3\bigr|}{14\sqrt{2}} \;\Longrightarrow\; 2\,\bigl|3x-5y+8z-12\bigr| =\bigl|-6x+10y-16z+3\bigr|.
Note que -6x+10y-16z+3=-2(3x-5y+8z)+3. Definindo A=3x-5y+8z, a equação vira
2\,|A-12|=\bigl|{-2A+3}\bigr| \;\Longrightarrow\; 2\,|A-12|=|2A-3|.
Resolvendo em partes, a única solução é
A=\frac{27}{4},
ou seja
3x-5y+8z=\frac{27}{4}.

Passo 5

Substituímos a parametrização (x,y,z)=(1+t,\tfrac t2,t) em 3x-5y+8z=\tfrac{27}{4}:
3(1+t)-5\!\bigl(\tfrac t2\bigr)+8t =3+3t-\tfrac{5t}{2}+8t =3+\frac{17t}{2} =\frac{27}{4}.
Multiplicando por 4:
12+34t=27 \quad\Longrightarrow\quad 34t=15 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{15}{34}.

Resposta

O único ponto de r equidistante de \pi_{1} e \pi_{2} é
\Bigl(x,y,z\Bigr) =\Bigl(1+\tfrac{15}{34},\;\tfrac{15}{68},\;\tfrac{15}{34}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{49}{34},\;\tfrac{15}{68},\;\tfrac{15}{34}\Bigr).

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