Exercício 5. (1.2 Pontos)

Descreva a forma polar da curva cujos pontos satisfazem a equação em coordenadas cartesianas
5 x^{2}+5 y^{2}+30 x=0
Indique intervalos para r e \theta que descrevam os pontos da forma polar que mapeiam unicamente os pontos da curva em coordenadas cartesianas. Faça um esboço da curva em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede para converter em coordenadas polares a curva definida em cartesianas por
5x^{2}+5y^{2}+30x=0
Isso envolve usar as relações
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
e resolver para r em função de \theta. Também vamos identificar a curva no plano xy (é um círculo deslocado) e, por fim, escolher intervalos para (r,\theta) que façam um mapeamento único.

Passo 2

Primeiro dividimos toda a equação por 5 e completamos o quadrado em x:
x^{2}+y^{2}+6x=0 \quad\Longrightarrow\quad (x+3)^{2}-9 + y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x+3)^{2}+y^{2}=9.
Portanto, em coordenadas cartesianas a curva é o círculo de centro (-3,0) e raio 3.

Passo 3

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em x^{2}+y^{2}+6x=0:
r^{2}+6r\cos\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad r\bigl(r+6\cos\theta\bigr)=0.
Dessa equação vêm as soluções r=0 (o ponto na origem) ou
r = -6\cos\theta.

Passo 4

Para representar todo o círculo sem repetição e manter r\ge0, usamos
r = -6\cos\theta,
com a condição -6\cos\theta\ge0, ou seja \cos\theta\le0. Logo um intervalo conveniente é
\theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\bigr],
onde r(\theta) varia de 0 até 3 e volta a 0. Assim cada (r,\theta) nesse intervalo mapeia exatamente um ponto do círculo.

Passo 5

Esboço da curva em coordenadas cartesianas: é um círculo centrado em (-3,0) e raio 3, que toca o eixo x em (-6,0) e (0,0) e atinge y=3 em (-3,3) e y=-3 em (-3,-3). Um esboço aproximado:
y

(−3,3) ●
(−6,0)●───*───────●(0,0)
(−3,−3)●──→ x

Resposta

A forma polar da curva é
r = -6\cos\theta,
com \theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{3\pi}{2}\bigr] e r\ge0.

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