Exercício 5. (1.2 Pontos)
Descreva a forma polar da curva cujos pontos satisfazem a equação em coordenadas cartesianas
Indique intervalos para
e
que descrevam os pontos da forma polar que mapeiam unicamente os pontos da curva em coordenadas cartesianas. Faça um esboço da curva em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede para converter em coordenadas polares a curva definida em cartesianas por
Isso envolve usar as relações
e resolver para
em função de
. Também vamos identificar a curva no plano
(é um círculo deslocado) e, por fim, escolher intervalos para
que façam um mapeamento único.
Passo 2
Primeiro dividimos toda a equação por
e completamos o quadrado em
:
Portanto, em coordenadas cartesianas a curva é o círculo de centro
e raio
.
Passo 3
Substituindo
e
em
:
Dessa equação vêm as soluções
(o ponto na origem) ou
Passo 4
Para representar todo o círculo sem repetição e manter
, usamos
com a condição
, ou seja
. Logo um intervalo conveniente é
onde
varia de
até
e volta a
. Assim cada
nesse intervalo mapeia exatamente um ponto do círculo.
Passo 5
Esboço da curva em coordenadas cartesianas: é um círculo centrado em
e raio
, que toca o eixo
em
e
e atinge
em
e
em
. Um esboço aproximado:
y
↑
(−3,3) ●
↑
(−3,3) ●
(−6,0)●───*───────●(0,0)
(−3,−3)●──→ x
Resposta
A forma polar da curva é
com
e
.