Exercício 4: (2,0 pontos) Encontre a derivada das funçoes abaixo:
y=e^{5 x^{2}} \ln (-x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^{5x^{2}} \ln(-x).
O conteúdo aqui é a regra do produto, juntamente com regra da cadeia para os dois fatores e^{5x^{2}} e \ln(-x).

Passo 2

Vamos derivar separadamente os dois fatores:
– Para f(x)=e^{5x^{2}}, pela regra da cadeia temos
f'(x)=e^{5x^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(5x^{2}) =e^{5x^{2}}\cdot 10x.
– Para g(x)=\ln(-x), note que \ln(-x)=\ln(u) com u=-x. Então
g'(x)=\frac{u'}{u} =\frac{-1}{-x} =\frac{1}{x}.

Passo 3

Pela regra do produto,
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
Substituindo os resultados de f',g,f,g':
y' = \bigl(10x\,e^{5x^{2}}\bigr)\ln(-x) + e^{5x^{2}}\cdot \frac{1}{x}.

Passo 4

Fatorando e^{5x^{2}}, obtemos
y' = e^{5x^{2}}\Bigl(10x\,\ln(-x) + \tfrac{1}{x}\Bigr).

Resposta

y' = e^{5x^{2}}\Bigl(10x\,\ln(-x) + \tfrac{1}{x}\Bigr).

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