Exercício 4: (2,0 pontos) Encontre a derivada das funçoes abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}-5}{3+\tan (x)};

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}-5}{3+\tan(x)}.
O conteúdo envolvido é a aplicação da regra do quociente e a derivada da função tangente.

Passo 2

Para derivar um quociente de funções \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, usamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-v'(x)\,u(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Identificamos
u(x)=x^{2}-5,\quad u'(x)=2x,
v(x)=3+\tan(x),\quad v'(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 4

Substituindo tudo na regra do quociente, fica
f'(x) =\frac{2x\,(3+\tan(x))-\operatorname{sec}^{2}(x)\,(x^{2}-5)}{[3+\tan(x)]^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{2x\,(3+\tan(x))-\operatorname{sec}^{2}(x)\,(x^{2}-5)}{(3+\tan(x))^{2}}.

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