Exercício 3: ( 1,5 pontos) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-2 x} no ponto ( 0, f(0) ).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de
f(x) = \frac{e^{x}}{\,e^{x} - 2x\,}
no ponto (0,f(0)). Para isso, vamos precisar de dois elementos: o valor f(0) e a derivada f'(x) avaliada em x=0, já que a reta tangente em x=0 é dada por
y - f(0) = f'(0)\,(x - 0).

Passo 2

Calcular f(0). Basta substituir x=0 em
f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}-2x}\,.
Temos
f(0)=\frac{e^{0}}{e^{0}-2\cdot0}=\frac{1}{1-0}=1.

Passo 3

Encontrar f'(x) usando a regra do quociente. Sejam
N(x)=e^{x},\quad D(x)=e^{x}-2x.
Então N'(x)=e^{x} e D'(x)=e^{x}-2, e
f'(x) =\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}} =\frac{e^{x}(e^{x}-2x)-e^{x}(e^{x}-2)}{\bigl(e^{x}-2x\bigr)^{2}}.
Fatorando e^{x} no numerador,
f'(x) =\frac{e^{x}\bigl(e^{x}-2x-e^{x}+2\bigr)}{(e^{x}-2x)^{2}} =\frac{2\,e^{x}(1 - x)}{(e^{x}-2x)^{2}}.

Passo 4

Avaliar a derivada em x=0:
f'(0)=\frac{2\,e^{0}(1-0)}{(e^{0}-0)^{2}} =\frac{2\cdot1\cdot1}{1^{2}}=2.
Logo, a reta tangente em x=0 sai de
y - f(0) = f'(0)\,(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y - 1 = 2x \quad\Longrightarrow\quad y = 2x + 1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 2x + 1.

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