Exercício 2: (2,0 pontos) Considere
. Determine, se houver: extremantes locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade para cima e concavidade para baixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar os extremos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidade para cima e para baixo. Para isso vamos usar as derivadas primeira (monotonicidade e extremos) e segunda (concavidade e inflexão).
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
As raízes de
são
e
, que são candidatos a extremos locais.
Passo 3
Para decidir onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
:
- Em
, por exemplo , temos , ou seja, crescente. - Em
, por exemplo , , decrescente. - Em
, por exemplo , , crescente.
Logo,
Crescimento em e
.
Decrescimento em .
Crescimento em
Decrescimento em
Como
muda de positivo para negativo em
, há um máximo local em
. Como muda de negativo para positivo em
, há um mínimo local em
. Calculamos os valores:
Passo 4
Agora a derivada segunda:
Resolvendo
obtemos
. Esse é candidato a ponto de inflexão.
Passo 5
Para ver a concavidade, examinamos o sinal de
:
- Se
, então , concavidade para baixo. - Se
, então , concavidade para cima.
O ponto
é de inflexão, e
Resposta
Extremos locais: máximo em
, mínimo em
.
Ponto de inflexão: .
Crescimento: e
.
Decrescimento: .
Concavidade para baixo: .
Concavidade para cima: .
Ponto de inflexão:
Crescimento:
Decrescimento:
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima: