Exercício 2: (2,0 pontos) Considere f(x)=x^{3}-9 x^{2}+24 x-2. Determine, se houver: extremantes locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade para cima e concavidade para baixo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}-9x^{2}+24x-2
e pede para encontrar os extremos locais, pontos de inflexão, intervalos de crescimento e decrescimento, e concavidade para cima e para baixo. Para isso vamos usar as derivadas primeira (monotonicidade e extremos) e segunda (concavidade e inflexão).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-9x^{2}+24x-2\bigr) =3x^{2}-18x+24 =3\bigl(x^{2}-6x+8\bigr) =3(x-2)(x-4).
As raízes de f'(x)=0 são x=2 e x=4, que são candidatos a extremos locais.

Passo 3

Para decidir onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f'(x):
  • Em x<2, por exemplo x=0, temos f'(0)=3\cdot8>0, ou seja, crescente.
  • Em 2<x<4, por exemplo x=3, f'(3)=3\cdot(-1)<0, decrescente.
  • Em x>4, por exemplo x=5, f'(5)=3\cdot3>0, crescente.
Logo,
\displaystyle
Crescimento em (-\infty,2) e (4,\infty).
\displaystyle
Decrescimento em (2,4).
Como f' muda de positivo para negativo em x=2, há um máximo local em x=2. Como muda de negativo para positivo em x=4, há um mínimo local em x=4. Calculamos os valores:
f(2)=2^{3}-9\cdot2^{2}+24\cdot2-2=8-36+48-2=18,
f(4)=4^{3}-9\cdot4^{2}+24\cdot4-2=64-144+96-2=14.

Passo 4

Agora a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-18x+24\bigr) =6x-18.
Resolvendo f''(x)=0 obtemos 6x-18=0 \Rightarrow x=3. Esse é candidato a ponto de inflexão.

Passo 5

Para ver a concavidade, examinamos o sinal de f''(x):
  • Se x<3, então f''(x)=6x-18<0, concavidade para baixo.
  • Se x>3, então f''(x)>0, concavidade para cima.
O ponto \bigl(3,f(3)\bigr) é de inflexão, e
f(3)=3^{3}-9\cdot3^{2}+24\cdot3-2=27-81+72-2=16.

Resposta

Extremos locais: máximo em \,(2,18), mínimo em \,(4,14).
Ponto de inflexão: \,(3,16).
Crescimento: (-\infty,2) e (4,\infty).
Decrescimento: (2,4).
Concavidade para baixo: (-\infty,3).
Concavidade para cima: (3,\infty).

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