Exercício 7: (1,5 pontos) Calcule a área entre a função f(x)=5 x^{3}-10 x, o eixo x e as retas x=-2 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área entre a curva f(x)=5x^3-10x, o eixo x e as retas x=-2 e x=2. O conteúdo principal aqui é o cálculo de área via integral de valor absoluto da função, podendo usar simetria quando a função for ímpar.

Passo 2

Precisamos achar os pontos em que a curva cruza o eixo x, ou seja, resolver
f(x)=5x^3-10x=0
Fatorando,
5x(x^2-2)=0
Portanto os zeros são
x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}.

Passo 3

Em cada intervalo definido por -2,\,-\sqrt{2},\,0,\,\sqrt{2},\,2 vamos verificar o sinal de f(x):
  • Para x<- \sqrt{2} (por exemplo x=-2), f(x)<0.
  • Para -\sqrt{2}<x<0 (por exemplo x=-1), f(x)>0.
  • Para 0<x<\sqrt{2} (por exemplo x=1), f(x)<0.
  • Para \sqrt{2}<x<2 (por exemplo x=2), f(x)>0.

Passo 4

A área é
\int_{-2}^{2}\bigl|f(x)\bigr|\,dx.
Como f é ímpar ( f(-x)=-f(x)), a área é duas vezes a área de 0 a 2:
\text{Área}=2\int_{0}^{2}\bigl|f(x)\bigr|\,dx =2\Bigl(\int_{0}^{\sqrt{2}}(-f(x))\,dx+\int_{\sqrt{2}}^{2}f(x)\,dx\Bigr).Á

Passo 5

Calculamos a primitiva de f:
F(x)=\int(5x^3-10x)\,dx =\frac{5}{4}x^4-5x^2.
Agora cada integral:
\int_{0}^{\sqrt{2}}(-f(x))\,dx =-\bigl[F(\sqrt{2})-F(0)\bigr] =-\Bigl(\frac{5}{4}\cdot4-5\cdot2\Bigr) =-\bigl(5-10\bigr)=5,
\int_{\sqrt{2}}^{2}f(x)\,dx =F(2)-F(\sqrt{2}) =\Bigl(\frac{5}{4}\cdot16-5\cdot4\Bigr) -\Bigl(\frac{5}{4}\cdot4-5\cdot2\Bigr) =(20-20)-(5-10)=5.
Logo a área de 0 a 2 é 5+5=10, e a área total é
\text{Área}=2\cdot10=20.Á

Resposta

20

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