Exercício 7: (1,5 pontos) Calcule a área entre a função f(x)=5 x^{3}-10 x, o eixo x e as retas x=-2 e x=2.
Passo 1
O enunciado pede a área entre a curva f(x)=5x^3-10x, o eixo x e as retas x=-2 e x=2. O conteúdo principal aqui é o cálculo de área via integral de valor absoluto da função, podendo usar simetria quando a função for ímpar.
Passo 2
Precisamos achar os pontos em que a curva cruza o eixo x, ou seja, resolver
f(x)=5x^3-10x=0
Fatorando,
5x(x^2-2)=0
Portanto os zeros são
x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}.
Passo 3
Em cada intervalo definido por -2,\,-\sqrt{2},\,0,\,\sqrt{2},\,2 vamos verificar o sinal de f(x):
Para x<- \sqrt{2} (por exemplo x=-2), f(x)<0.
Para -\sqrt{2}<x<0 (por exemplo x=-1), f(x)>0.
Para 0<x<\sqrt{2} (por exemplo x=1), f(x)<0.
Para \sqrt{2}<x<2 (por exemplo x=2), f(x)>0.
Passo 4
A área é
\int_{-2}^{2}\bigl|f(x)\bigr|\,dx.
Como f é ímpar (f(-x)=-f(x)), a área é duas vezes a área de 0 a 2: