Obtenha as raízes das seguintes equações fatorando-as em produtos y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right):
y=x^{2}+9 x+14

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio y = x^2 + 9x + 14 no formato
y = a\,(x - x_1)\,(x - x_2)
e, com isso, encontrar as raízes x_1 e x_2. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios quadráticos por soma e produto de raízes.

Passo 2

Procuramos dois números cujo produto seja o termo constante 14 e cuja soma seja o coeficiente de x, isto é, 9. As opções são:
1\cdot14=14,\quad1+14=15
2\cdot7=14,\quad2+7=9
Logo, os números são 2 e 7.

Passo 3

Usamos esses números para dividir o termo linear e fatorar por agrupamento:
x^2 + 9x + 14 = x^2 + 2x + 7x + 14
Agrupando em pares:
x^2 + 2x = x\,(x+2), \quad 7x + 14 = 7\,(x+2)
Portanto,
x^2 + 9x + 14 = (x+2)\,(x+7).

Passo 4

Comparando com y = a\,(x - x_1)\,(x - x_2) vemos que a=1 e
x+2 = x - (-2), \quad x+7 = x - (-7).
Assim, as raízes são x_1 = -2 e x_2 = -7, e a fatoração final é
y = 1\,(x - (-2))\,(x - (-7)) = (x+2)\,(x+7).

Resposta

As raízes são x=-2 e x=-7, e a fatoração é
y = (x+2)\,(x+7).

Exercícios relacionados