Obtenha as raízes das seguintes equações fatorando-as em produtos y=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right):
y=x^{2}-x-20

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o trinômio de segundo grau
y = x^2 - x - 20
no formato y = a(x - x_{1})(x - x_{2}). Aqui temos a=1, e queremos achar as raízes x_{1} e x_{2}.

Passo 2

Para fatorar, buscamos dois números m e n tais que
m + n = \text{coeficiente de }x = -1
m \cdot n = \text{termo independente} = -20
Testando pares de fatores de -20, vemos que
4 + (-5) = -1
4 \times (-5) = -20
Logo, m = 4 e n = -5.

Passo 3

Reescrevemos o trinômio agrupando em dois termos com m e n:
x^2 - x - 20 = x^2 + 4x - 5x - 20.
Agora fatoramos por grupos:
x^2 + 4x - 5x - 20 = x(x+4) -5(x+4) = (x+4)(x-5).
Portanto a fatoração é
y = (x - 5)(x + 4).
Dessa forma, as raízes são x_{1}=5 e x_{2}=-4.

Resposta

y = (x - 5)(x + 4), com x_{1} = 5 e x_{2} = -4.

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