Exercício 4: (2,0 pontos) Calcule:
\int \frac{x}{x^{2}-3} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{x^{2}-3}\,dx.
Este é um caso clássico de integral de função racional em que o numerador é proporcional à derivada do denominador. Vamos usar a técnica de substituição simples para resolver.

Passo 2

Observamos que a derivada de x^{2}-3 em relação a x é 2x, e no numerador temos x. Por isso, fazemos a substituição
u = x^{2}-3.
Então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x}{x^{2}-3}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\Bigl(x\,dx\Bigr) = \int \frac{1}{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural de valor absoluto de u. Logo,
\frac{1}{2}\,\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}-3:

Resposta

\int \frac{x}{x^{2}-3}\,dx = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|x^{2}-3\bigr| + C.

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