Exercício 4: (2,0 pontos) Calcule: \int \frac{x}{x^{2}-3} d x;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{x^{2}-3}\,dx.
Este é um caso clássico de integral de função racional em que o numerador é proporcional à derivada do denominador. Vamos usar a técnica de substituição simples para resolver.
Passo 2
Observamos que a derivada de x^{2}-3 em relação a x é 2x, e no numerador temos x. Por isso, fazemos a substituição
u = x^{2}-3.
Então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.