Resolva, por escalonamento, os sistemas.
\left\{\begin{array}{l}x-3 y-2 z=3 \\\\ 2 x+y+2 z=-2 \\\\ 4 x-5 y-2 z=4\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por escalonamento (eliminações de Gauss), o sistema
\begin{cases} x - 3y - 2z = 3,\\\\ 2x + y + 2z = -2,\\\\ 4x - 5y - 2z = 4. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando operações elementares em linhas de uma matriz aumentada.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e usar a primeira linha como pivô para eliminar x das linhas 2 e 3.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -2 & 3\\\\ 2 & 1 & 2 & -2\\\\ 4 & -5 & -2 & 4 \end{array}\right]
Fazemos
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\,\text{L}_1 e
\text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - 4\,\text{L}_1.

Passo 3

Aplicando as operações obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -2 & 3\\\\ 0 & 7 & 6 & -8\\\\ 0 & 7 & 6 & -8 \end{array}\right].
A terceira linha ficou igual à segunda, ou seja, gera a equação redundante
7y+6z=-8.

Passo 4

O sistema reduzido é
\begin{cases} x - 3y - 2z = 3,\\\\ 7y + 6z = -8. \end{cases}
Como há menos equações independentes que incógnitas, introduzimos parâmetro livre. Seja z = t. Da segunda equação
y = -\frac{8 + 6t}{7}.
Substituindo em x - 3y - 2z = 3 temos
x = 3 + 3y + 2z = 3 + 3\Bigl(-\frac{8+6t}{7}\Bigr) + 2t = -\frac{3 + 4t}{7}.

Resposta

A família de soluções é
\bigl(x,y,z\bigr) =\Bigl(-\tfrac{3+4t}{7},\,-\tfrac{8+6t}{7},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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