Exercício 1: (2,0 pontos) Encontre a derivada das funçoes abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}-\ln (-x)}{3+e^{x}};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}-\ln(-x)}{3+e^{x}}
Vamos usar o conteúdo de derivadas de funções elementares (potência, logaritmo) e a regra do quociente.

Passo 2

Calcular a derivada do numerador
g(x)=x^{2}-\ln(-x).
A derivada de x^{2} é 2x. Para \ln(-x), como \ln(-x)'=\frac1{-x}\cdot(-1)=\frac1{x}, temos
g'(x)=2x-\frac1{x}.

Passo 3

Calcular a derivada do denominador
h(x)=3+e^{x}.
Como \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, obtemos
h'(x)=e^{x}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente
f'(x)=\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo g, g', h e h', vem
f'(x) =\frac{\bigl(2x-\tfrac1{x}\bigr)\,(3+e^{x})-\bigl(x^{2}-\ln(-x)\bigr)\,e^{x}}{(3+e^{x})^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\bigl(2x-\frac1{x}\bigr)\,(3+e^{x})-\bigl(x^{2}-\ln(-x)\bigr)\,e^{x}}{(3+e^{x})^{2}}.

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