Resolva, por escalonamento, os sistemas.
\left\{\begin{array}{l}x-y+3 z=-2 \\\\ 2 x+3 y+2 z=7 \\\ x-2 y+z=-7\end{array}\right\}

Passo 1

O objetivo é usar o método de eliminação de Gauss, que transforma o sistema num sistema triangular superior por operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha em outra, multiplicar uma linha por escalar não nulo, etc.). O sistema dado é
\begin{cases} x - y + 3z = -2,\\\\ 2x + 3y + 2z = 7,\\\ x - 2y + z = -7. \end{cases}
Vamos montar a matriz aumentada e zerar as entradas abaixo dos pivôs.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 3 & 2 & 7 \\\\ 1 & -2 & 1 & -7 \end{array}\right]

Passo 3

Zerando abaixo do pivô em primeira coluna: faça
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
resultando em
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 5 & -4 & 11 \\\\ 0 & -1 & -2 & -5 \end{array}\right].

Passo 4

Agora use a segunda linha como pivô em coluna 2. Primeiro normalize-a dividindo por 5 e depois some-a à terceira linha para zerar abaixo:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{5}R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 + R_2,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{11}{5} \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{14}{5} & -\tfrac{14}{5} \end{array}\right].

Passo 5

Normalize a terceira linha para ter pivô 1 na coluna 3:
R_3 \leftarrow -\tfrac{5}{14}\,R_3,
obtendo a forma triangular final
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{11}{5} \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right].
Isso corresponde ao sistema
\begin{cases} x - y + 3z = -2,\\\ y - \tfrac{4}{5}z = \tfrac{11}{5},\\\ z = 1. \end{cases}

Passo 6

Resolver por substituição regressiva:
Pela terceira equação, z=1.
Na segunda,
y = \tfrac{11}{5} + \tfrac{4}{5}\cdot 1 = \tfrac{15}{5} = 3.
Na primeira,
x = -2 + y - 3z = -2 + 3 - 3 = -2.

Resposta

(x,y,z) = (-2,\,3,\,1)

Exercícios relacionados