Exercício 1: (2,0 pontos) Encontre a derivada das funçoes abaixo:
y=\operatorname{sen}\left(5 x^{2}\right)\left(x^{2}-1\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sin\bigl(5x^{2}\bigr)\,(x^{2}-1)^{3}.
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos
u(x)=\sin\bigl(5x^{2}\bigr) \quad\text{e}\quad v(x)=(x^{2}-1)^{3}.
Pela regra do produto,
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia em \sin(5x^{2}):
u'(x) = \cos\bigl(5x^{2}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr) = \cos\bigl(5x^{2}\bigr)\cdot10x.

Passo 4

Calculamos v'(x) usando a regra da cadeia em (x^{2}-1)^{3}:
v'(x) = 3\,(x^{2}-1)^{2}\,\frac{d}{dx}(x^{2}-1) = 3\,(x^{2}-1)^{2}\cdot2x = 6x\,(x^{2}-1)^{2}.

Passo 5

Substituindo em y'=u'v+uv', temos
y' = \bigl[10x\cos(5x^{2})\bigr]\,(x^{2}-1)^{3} + \sin(5x^{2})\bigl[6x\,(x^{2}-1)^{2}\bigr].
Podemos ainda fatorar 2x\,(x^{2}-1)^{2}:
y' = 2x\,(x^{2}-1)^{2}\Bigl[5(x^{2}-1)\cos(5x^{2}) + 3\sin(5x^{2})\Bigr].

Resposta

y' = 10x\cos(5x^{2})\,(x^{2}-1)^{3} \;+\; 6x\sin(5x^{2})\,(x^{2}-1)^{2}
ou, de forma fatorada,
y' = 2x\,(x^{2}-1)^{2}\Bigl[5(x^{2}-1)\cos(5x^{2}) + 3\sin(5x^{2})\Bigr].

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