Exercício 3. (3 pontos) Consideremos a função
:
Passo 1- Encontre os pontos críticos da função
.
Passo 2- Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
;
Passo 3- Encontre os pontos de inflexão;
Passo 4- Determine as regiões com concavidade para baixo e para cima;
Passo 5- Encontre as assíntotas, caso existam.
Passo 6- Determine o valor da função nos pontos críticos e nos pontos de inflexão.
Final- Esboce o gráfico da função
usando as informações obtidas nos passos anteriores.
Passo 1- Encontre os pontos críticos da função
Passo 2- Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
Passo 3- Encontre os pontos de inflexão;
Passo 4- Determine as regiões com concavidade para baixo e para cima;
Passo 5- Encontre as assíntotas, caso existam.
Passo 6- Determine o valor da função nos pontos críticos e nos pontos de inflexão.
Final- Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1 $. O que a questão pede envolve encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, regiões de concavidade, assíntotas e, finalmente, esboçar o gráfico da função. Para tudo isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são $ x = 3 $ e $ x = -1 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 6x - 9 $.
Vamos usar os pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 3 $ para dividir a reta numérica em três intervalos:
- $ x < -1 $
- $ -1 < x < 3 $
- $ x > 3 $
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e verificamos o sinal de $ f’(x) $:
-
Para $ x < -1 $, digamos $ x = -2 $:Então, a função está crescente nesse intervalo.
-
Para $ -1 < x < 3 $, digamos $ x = 0 $:A função está decrescente nesse intervalo.
-
Para $ x > 3 $, digamos $ x = 4 $:A função está crescente nesse intervalo.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de inflexão da função. Pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Igualamos a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então, temos um possível ponto de inflexão em $ x = 1 $. Para confirmar, vamos verificar o sinal de $ f’’(x) $ nos intervalos ao redor de $ x = 1 $:
-
Para $ x < 1 $, digamos $ x = 0 $:
-
Para $ x > 1 $, digamos $ x = 2 $:
Como a concavidade muda de baixo para cima, $ x = 1 $ é de fato um ponto de inflexão.
Passo 5
Agora, vamos determinar as regiões de concavidade para baixo e para cima usando a segunda derivada $ f’’(x) = 6x - 6 $.
-
Para $ f’’(x) > 0 $ (concavidade para cima):
-
Para $ f’’(x) < 0 $ (concavidade para baixo):
Então, a função é concava para baixo quando $ x < 1 $ e concava para cima quando $ x > 1 $.
Passo 6
Vamos encontrar as assíntotas, se existirem. Assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas geralmente ocorrem em funções racionais ou que tendem ao infinito de certa forma.
Nossa função é um polinômio de grau 3:
Funções polinômicas não possuem assíntotas verticais nem horizontais, pois seu comportamento para $ x \to \pm\infty $ é dominado pelo termo de maior grau, que no caso é $ x^{3} $. Portanto, essa função não possui assíntotas.
Passo 7
Agora, vamos determinar o valor da função nos pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 3 $, e no ponto de inflexão $ x = 1 $.
-
Para $ x = -1 $:
-
Para $ x = 3 $:
-
Para $ x = 1 $ (ponto de inflexão):
Portanto, temos:
- Ponto crítico em $ (-1, 6) $
- Ponto crítico em $ (3, -26) $
- Ponto de inflexão em $ (1, -10) $
Resposta
Com todas as informações obtidas:
- Pontos críticos: $ (-1, 6) $ e $ (3, -26) $
- Crescimento: $ x < -1 $ e $ x > 3 $
- Decrescimento: $ -1 < x < 3 $
- Ponto de inflexão: $ (1, -10) $
- Concavidade para baixo: $ x < 1 $
- Concavidade para cima: $ x > 1 $
- Sem assíntotas
Com base nisso, o esboço do gráfico da função $ f(x) $ terá uma curva que cresce até $ x = -1 $, atinge um pico em $ (-1, 6) $, depois decresce até $ x = 3 $, onde atinge um vale em $ (3, -26) $. A concavidade muda em $ x = 1 $, passando de para baixo para para cima, com um ponto de inflexão em $ (1, -10) $. A função não possui assíntotas e tende ao infinito positivo quando $ x $ vai para $ +\infty $ e ao infinito negativo quando $ x $ vai para $ -\infty $.