Exercício 3. (3 pontos) Consideremos a função f(x)=x^3-3 x^2-9 x+1 :
Passo 1- Encontre os pontos críticos da função f(x).
Passo 2- Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x);
Passo 3- Encontre os pontos de inflexão;
Passo 4- Determine as regiões com concavidade para baixo e para cima;
Passo 5- Encontre as assíntotas, caso existam.
Passo 6- Determine o valor da função nos pontos críticos e nos pontos de inflexão.
Final- Esboce o gráfico da função f usando as informações obtidas nos passos anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que trabalhar com a função $ f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1 $. O que a questão pede envolve encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, regiões de concavidade, assíntotas e, finalmente, esboçar o gráfico da função. Para tudo isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $:
f(x)
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
f'(x) = ddx(x^3 - 3x^2 - 9x + 1) = 3x^2 - 6x - 9
Vamos simplificar dividindo todos os termos por 3:
3x^2 - 6x - 9 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
x^2 - 2x - 3 = 0
Então, as soluções são:
x = 2 pm raiz(2)^2 - 4(1)(-3)2(1) = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Portanto, os pontos críticos são $ x = 3 $ e $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 6x - 9 $.
Vamos usar os pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 3 $ para dividir a reta numérica em três intervalos:
  1. $ x < -1 $
  2. $ -1 < x < 3 $
  3. $ x > 3 $
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e verificamos o sinal de $ f’(x) $:
  1. Para $ x < -1 $, digamos $ x = -2 $:
    f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
    Então, a função está crescente nesse intervalo.
  2. Para $ -1 < x < 3 $, digamos $ x = 0 $:
    x = -1
    A função está decrescente nesse intervalo.
  3. Para $ x > 3 $, digamos $ x = 4 $:
    x = 3
    A função está crescente nesse intervalo.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de inflexão da função. Pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
f''(x) = ddx(3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6
Igualamos a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
6x - 6 = 0 implies x = 1
Então, temos um possível ponto de inflexão em $ x = 1 $. Para confirmar, vamos verificar o sinal de $ f’’(x) $ nos intervalos ao redor de $ x = 1 $:
  1. Para $ x < 1 $, digamos $ x = 0 $:
    x = 1
  2. Para $ x > 1 $, digamos $ x = 2 $:
    f''(x)
Como a concavidade muda de baixo para cima, $ x = 1 $ é de fato um ponto de inflexão.

Passo 5

Agora, vamos determinar as regiões de concavidade para baixo e para cima usando a segunda derivada $ f’’(x) = 6x - 6 $.
  1. Para $ f’’(x) > 0 $ (concavidade para cima):
    f''(x) = 6x - 6
  2. Para $ f’’(x) < 0 $ (concavidade para baixo):
    f''(x) > 0
Então, a função é concava para baixo quando $ x < 1 $ e concava para cima quando $ x > 1 $.

Passo 6

Vamos encontrar as assíntotas, se existirem. Assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas geralmente ocorrem em funções racionais ou que tendem ao infinito de certa forma.
Nossa função é um polinômio de grau 3:
f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1
Funções polinômicas não possuem assíntotas verticais nem horizontais, pois seu comportamento para $ x \to \pm\infty $ é dominado pelo termo de maior grau, que no caso é $ x^{3} $. Portanto, essa função não possui assíntotas.

Passo 7

Agora, vamos determinar o valor da função nos pontos críticos $ x = -1 $ e $ x = 3 $, e no ponto de inflexão $ x = 1 $.
  1. Para $ x = -1 $:
    x = -1
  2. Para $ x = 3 $:
    x = 3
  3. Para $ x = 1 $ (ponto de inflexão):
    x = 1
Portanto, temos:
  • Ponto crítico em $ (-1, 6) $
  • Ponto crítico em $ (3, -26) $
  • Ponto de inflexão em $ (1, -10) $

Resposta

Com todas as informações obtidas:
  • Pontos críticos: $ (-1, 6) $ e $ (3, -26) $
  • Crescimento: $ x < -1 $ e $ x > 3 $
  • Decrescimento: $ -1 < x < 3 $
  • Ponto de inflexão: $ (1, -10) $
  • Concavidade para baixo: $ x < 1 $
  • Concavidade para cima: $ x > 1 $
  • Sem assíntotas
Com base nisso, o esboço do gráfico da função $ f(x) $ terá uma curva que cresce até $ x = -1 $, atinge um pico em $ (-1, 6) $, depois decresce até $ x = 3 $, onde atinge um vale em $ (3, -26) $. A concavidade muda em $ x = 1 $, passando de para baixo para para cima, com um ponto de inflexão em $ (1, -10) $. A função não possui assíntotas e tende ao infinito positivo quando $ x $ vai para $ +\infty $ e ao infinito negativo quando $ x $ vai para $ -\infty $.

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